從子集和生成的唯一數字從1 ... n

Question

從（1 ... n）開始的正自然數序列子集的和是否會生成小於n *（n + 1）/ 2的所有唯一數字？

例如。
總和（1,2,3）= 6 子集總和：

1, 2, 3, 1+3 = 4, 2+3 = 5, 1+2+3 = 6

是否有驗證的情況下的定理？

Answer 1

歸納法的簡單證明。

取整數的每個子集從1到N由所有這些值中的除了一些kk其中在1到N（不含N）的範圍內。這些子集中的每一個的總和是連續的整數SUM(1..N)-k，它們都是SUM(1..N-1) + 1和SUM(1..N) - 1之間的整數。這是歸納步驟。證明的其餘部分是微不足道的。