降低方程系統，其在數學

Question

我獲得的folloiwng方程欠定（作爲一個例子）：

{2 w11 + 3 w21 == 2 w12, w11 == 4 w12 + 3 w22, w11 + 2 w21 + w22 == 0, 
    2 w12 + w21 + 2 w22 == 0} 

我想確定W11，W12，W21，W22。但是，只需執行以下操作：

Solve[{3 w11 + 2 w21 == 5 w11 + 3 w12, w11 + w21 == 5 w21 + 3 w22, 
    3 w12 + 2 w22 == -2 w11 - w12, w12 + w22 == -2 w21 - w22}, {w11, 
    w12, w21, w22}] 

由於等式系統未確定。我有一個想法，即使用矩陣代數。但我需要自動將w11，w12，w21，w22前面的這些係數分組成一個矩陣（列表清單），然後從那裏開始。但我不確定如何輕鬆操縱這些方程來生成這樣的矩陣。請幫忙，或者如果你有更好的想法，請分享。

非常感謝。

Answer 1

這是你的方程式和變量：

vars = {w11, w12, w21, w22}; 
eqs = {2 w11 + 3 w21 == 2 w12, w11 == 4 w12 + 3 w22, 
    w11 + 2 w21 + w22 == 0, 2 w12 + w21 + 2 w22 == 0}; 

這裏是矩陣：

In[48]:= matrix = Transpose[ eqs /. Equal :> Subtract /. 
    Map[Thread[vars -> #] &, IdentityMatrix[Length[vars]]]] 

Out[48]= {{2, -2, 3, 0}, {1, -4, 0, -3}, {1, 0, 2, 1}, {0, 2, 1, 2}} 

編輯：

In[49]:= eqs = {3 w11 + 2 w21 == 5 w11 + 3 w12, w11 + w21 == 5 w21 + 3 w22, 
    3 w12 + 2 w22 == -2 w11 - w12, w12 + w22 == -2 w21 - w22}; 

In[50]:= matrix = Transpose[ eqs /. Equal :> Subtract /. 
    Map[Thread[vars -> #] &, IdentityMatrix[Length[vars]]]] 

Out[50]= {{-2, -3, 2, 0}, {1, 0, -4, -3}, {2, 4, 0, 2}, {0, 1, 2, 2}} 

：

關於你的第二組方程的同作品

編輯：

根據要求擴展解決方案。首先，它是如何工作的：這個想法是首先將所有的變量到左側，這是用減法替換等號操作來實現的：

In[69]:= eqs = {3 w11 + 2 w21 == 5 w11 + 3 w12, w11 + w21 == 5 w21 + 3 w22, 
    3 w12 + 2 w22 == -2 w11 - w12, w12 + w22 == -2 w21 - w22}; 

在[70]：=方程/。等於：>減去

輸出[70] = { - w11 - 3 w12 + 2 w21，w11 - 4 w21 - 3 w22,2 w11 + 4 w12 + 2 w22，w12 + 2 w21 + 2 w22}

被構造

的規則，使得用於任何一組的規則，只有一個變量被設置爲1，其餘爲0：

In[71]:= Map[Thread[vars -> #] &, IdentityMatrix[Length[vars]]] 

Out[71]= {{w11 -> 1, w12 -> 0, w21 -> 0, w22 -> 0}, {w11 -> 0, w12 -> 1, w21 -> 0, w22 -> 0}, 
     {w11 -> 0, w12 -> 0, w21 -> 1, w22 -> 0}, {w11 -> 0, w12 -> 0, w21 -> 0, w22 -> 1}} 

這允許計算係數：

In[72]:= eqs /. Equal :> Subtract /. Map[Thread[vars -> #] &, IdentityMatrix[Length[vars]]] 

Out[72]= {{-2, 1, 2, 0}, {-3, 0, 4, 1}, {2, -4, 0, 2}, {0, -3, 2, 2}} 

在檢查規則如何工作時，很容易看到我們需要d將Transpose應用於結果。

現在，你的第二個請求需要更多的工作：

In[53]:= eqs = {3 w11 + 2 w12 == 5 w11 + 3 w21 + a, w11 + w12 == 5 w12 + 3 w22 - c, 
    3 w21 + 2 w22 + b == a - 2 w11 - w21, w21 + w22 == f - 2 w12 - w22}; 

In[55]:= modifiedEqs = With[{alts = Alternatives @@ vars}, 
    eqs //. {lhs_ == HoldPattern[Plus[left___, x_, right___]] /; !FreeQ[x, alts] :> 
        lhs - x == left + right, 
      HoldPattern[Plus[left___, x_, right___] == rhs_] /; FreeQ[x, alts] :> 
      (left + right == rhs - x)}] 

Out[55]= {-2 w11 + 2 w12 - 3 w21 == a, w11 - 4 w12 - 3 w22 == -c, 
    2 w11 + 4 w21 + 2 w22 == a - b, 2 w12 + w21 + 2 w22 == f} 

In[68]:= matrix = {Transpose[# /. (lhs_ == rhs_) :> lhs /. 
    Map[Thread[vars -> #] &, IdentityMatrix[Length[vars]]]], #[[All,2]]} &[modifiedEqs] 

Out[68]= {{{-2, 2, -3, 0}, {1, -4, 0, -3}, {2, 0, 4, 2}, {0, 2, 1, 2}}, {a, -c, a - b, f}} 

的主要區別是，我們需要一個額外的步驟來分離常數，把他們帶到r.h.s.你可能會發現找出自己如何工作的細節更有用。

編輯：

是的，我忘了提：瞭解解決方案，你應該知道，當你申請的規則在列表嵌套會發生什麼 - 在這種情況下，規則的每個列表裏面的一個大名單結果的表達的轉化的副本，例如：

In[73]:= {a, b, c} /. {{a -> 1}, {b -> 1}, {c -> 1}} 

Out[73]= {{1, b, c}, {a, 1, c}, {a, b, 1}} 

HTH

Answer 2

有用於將線性（或多項式）方程組的成矩陣形式的內置函數CoefficientArrays。

你想要的矩陣是結果的第二部分：

In[7]:= vars = {w11, w12, w21, w22}; 

In[8]:= CoefficientArrays[{2 w11 + 3 w21 == 2 w12, 
    w11 == 4 w12 + 3 w22, w11 + 2 w21 + w22 == 0, 
    2 w12 + w21 + 2 w22 == 0}, vars] // Normal 

Out[8]= {{0, 0, 0, 
    0}, {{2, -2, 3, 0}, {1, -4, 0, -3}, {1, 0, 2, 1}, {0, 2, 1, 2}}} 

不均勻的部分是結果的第一部分，一個向量：

In[9]:= CoefficientArrays[{3 w11 + 2 w12 == 5 w11 + 3 w21 + a, 
    w11 + w12 == 5 w12 + 3 w22 - c, 
    3 w21 + 2 w22 + b == a - 2 w11 - w21, 
    w21 + w22 == f - 2 w12 - w22}, vars] // Normal 

Out[9]= {{-a, 
    c, -a + b, -f}, {{-2, 2, -3, 0}, {1, -4, 0, -3}, {2, 0, 4, 2}, {0, 
    2, 1, 2}}}