存儲COS和罪成向量和越來越怪異值

Question

我的代碼

double to_radians(double theta) 
{ 
    return (M_PI * theta)/180.0; 
} 

int main() 
{ 
    std::vector<std::pair<double, double>> points; 
    for (double theta = 0.0; theta <= 360.0; theta += 30.0) 
    { 
     points.push_back(std::make_pair(std::cos(to_radians(theta)), std::sin(to_radians(theta)))); 
    } 
    for (auto point : points) 
     std::cout << point.first << " " << point.second << "\n"; 
} 

輸出我希望

1 0 
0.866025 0.5 
0.5 0.866025 
0 1 
-0.5 0.866025 
-0.866025 0.5 
-1 0 
-0.866025 -0.5 
-0.5 -0.866025 
0 -1 
0.5 -0.866025 
0.866025 -0.5 
1 0

輸出我得到：

1 0 
0.866025 0.5 
0.5 0.866025 
6.12303e-17 1 
-0.5 0.866025 
-0.866025 0.5 
-1 1.22461e-16 
-0.866025 -0.5 
-0.5 -0.866025 
-1.83691e-16 -1 
0.5 -0.866025 
0.866025 -0.5 
1 -2.44921e-16

正如你可以看到我得到這些奇怪的值而不是零。有人可以解釋爲什麼會發生這種情況嗎？

Answer 1

6.12303e-17舉例來說，代表值6.12303 * 10 ^-17或0.00000000000000612303。

您獲得此值的原因是您沒有將cos應用於π/ 2，無論如何這不能表示爲double（這是非理性的）。將cos函數應用於接近π/ 2的double，該函數通過將90乘以M_PI併除以180得到。由於參數不是π/ 2，因此結果不一定爲0.實際上，由於浮點數字在零點附近更密集，因此對任何浮點格式應用正確舍入的cos到任何浮點數字都不會產生精確的零結果。

事實上，由於在π/ 2中的cos的導數爲-1，因此表達式cos(M_PI/2.0)獲得的值是M_PI/2與π/ 2之間的差異的近似值。由於雙精度IEEE 754格式只能表示任意數字的前16位左右的第一個十進制數字，因此該差別的確是d * 10 ^-17的順序。

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注意，同樣道理也適用於獲得0.5爲cos(M_PI/3.0)，甚至-1.0爲cos(M_PI)結果的結果。區別在於有很多浮點數，有些非常小，大約爲0，這些可以非常精確地表示預期的非零結果。相比之下，0.5和-1.0只有幾個鄰居，並且對於接近π/ 3和π的輸入，數字0.5和-1.0最終作爲最接近的可表示的雙精度值返回到各自的數學結果（其爲isn' t 1/2或-1，因爲輸入不是π/ 3或π）。

對於您的問題最簡單的解決方案是使用假設函數cosdeg和sindeg，它們將直接計算角度的餘弦和正弦。由於60和90可以完全表示爲雙精度浮點數，所以這些函數不會有任何理由不返回0.5或0.0（也可以精確地表示爲雙精度浮點數）。我早些時候問過a question in relation to these functions，但沒有人指出任何可用的實現。

njuffa指出的函數sinpi和cospi通常是可用的，它們允許計算正弦和餘弦或π/ 2，π/ 4或甚至7.5 *π，但不是π/ 3， 1/3必須應用於二進制浮點不能完全表示。

Answer 2

這是一個浮點舍入錯誤。Trig函數被實現爲數學序列，這些數學序列在導致數字非常接近零的計算水平上近似，例如6.12303e-17而不是預期的0。