數學：以簡化用戶自定義功能

Question

輸入：

f[x_] := Sqrt[x^2 + y^2] 
f'[x] 

輸出：

x/Sqrt[x^2 + y^2] 

我如何通過數學本身f[x]更換分母？（注意：這是一個比較複雜的分化問題，其中，所述函數本身是複雜的，但示出了很多在衍生物的一個簡單的例子。）

即，期望的輸出是：

x/f[x] 

我試圖

Simplify[f'[x], TransformationFunctions -> {f}] 

，但無濟於事。任何幫助表示讚賞！

Answer 1

我認爲這是很難做到這一點;在具體的例子可以使用一個規則，如

rules = {z_^2 + y^2 -> Hold[f[z]^2]}; 

然後

f'[x] /. rules 

(* x/Sqrt[Hold[f[x]^2]] *) 

f''[x] /. rules 

(* -(x^2/Hold[f[x]^2]^(3/2)) + 1/Sqrt[Hold[f[x]^2]] *) 

與平方根工作是比較困難的，我認爲一個規則是不夠的，基本的原因是：

Sqrt[x^2 + y^2] // FullForm 
1/Sqrt[x^2 + y^2] // FullForm  

Answer 2

我認爲你可以做這樣的：

Clear[f,g] 
g[expr_]:=expr/.(x_^2+y_^2):> (f[x])^2 
Simplify[D[Sqrt[x^2+y^2],x],TransformationFunctions->{Automatic,g},Assumptions->f[x]>0] 

因此它將給出x/f[x]。