如何證明這種語言是否正規？

Question

如何證明這種語言是否正規？

L = {A ^Ñ b ^Ñ：N ≥ 1} {工會一個^Ñ b ^{N + 2}：N ≥ 1}

Answer 1

我給一個方法和證明的草圖，可能會有一些漏洞，我相信你可以填補自己。

的想法是使用nerode's theorem - 表明，有對R _大號等同羣組的infinte數 - 從定理可以推導出的語言是不規則的。

定義的集兩種類型：

1. G_J = {A ^Ñ b ^ķ | NK = J，K ≥ 1}在每個 f] [-2，-1,0,1，...]
2. H_j = {A ^Ĵ}用於每個 f] [0,1 ,. ..
3. G_illegal = {0,1} * /（G_JÚH_j）在指定的範圍內的每個j]的

這是很容易看到，對於在每個G_illegalx，和{a，b}中的每個z^*：xz不在L中。

因此，對於在每G_illegal並x,y在每個z {A，B} ^*：xz在L < - >在Lyz。

而且，對於在每個z {A，B} ^* - 並且對於每個x，y在一些G_j [相同j兩個]：

• 如果z包含a，既xz和yz不在L
• 如果z = b ^j，則xz = a ⁿ b ^k b ^j，並且由於k+j = n - xz在L中。同樣適用於y，所以yz在L。
• 如果z = B ^{J + 2}，然後XZ =一個^Ñ b ^ķ b ^{J + 2}，並且由於k+j+2 = n+2 - xz是L。同樣適用於y，所以yz在L。
• 否則，x爲b ^我使得i ≠ j和i ≠ J + 2，你會得到兩個xz和yz不是L。

因此，對於每個j和用於在每G_j並x,y在每個z {A，B} ^*：xz在L < - 在L>yz。

使用相同的方法對每個H_j證明相同。

而且，很容易表明，對於每個x G_JùH_j，以及用於在每個G_illegal y - 爲z = B ^Ĵ，XZ爲L和yz不在L.
對於x在G_j和y in H_i，for z = ab ^{j + 1} - 很容易看出xz不在L中，而yz在L中。
這是很容易看到，對於x，在G_J和的G_i y分別或x，y在H_j，H_i - 爲z = B ^Ĵ：xz是在L而yz不是。

我們只是證明了我們創建的集實際上是對R _大號從nerode's theorem的等價關係，因爲我們有這些組的無限數量，每個用戶可以使用R _大號的等價關係[我們有H_j和G_j每j] - 我們可以從nerode的定理推導出語言L是不規則的。

Answer 2

您可以使用pumping lemma作爲常規語言。它基本上說，如果你可以找到一個字符串給任何給定的整數n和這個字符串的任何分區到xyz，這樣| xy | < = n和| y | > 0，那麼你可以抽出字符串的y部分，並且必須保持在語言中，這意味着，如果xy^iz它不在我的語言中，那麼語言是不規則的。

證明是這樣的，有種對手的證明。假設有人告訴你這種語言是正規的。然後問他一個n> 0的數字。你建立一個長度大於n的方便的字符串，並且你給敵手。他以任何他想要的方式將字符串分割爲x，y z，只要| xy | < = n。然後你必須抽y（直到重複它），直到找到一個不是同一種語言的字符串。

在這種情況下，我告訴你：給我n。你修復n。我告訴你：取出字符串「a^n b^{n + 2}」，並告訴你將它分開。無論如何，你可以分割這個字符串，你總是必須使y = a^k，k> 0，因爲你迫使| xy | < = n，我的字符串以^ n開頭。這裏有個訣竅，你給對手一個弦，這樣他就可以把它分開，他給你一個你可以抽的部分。所以，現在我們抽出0次，比如0次，然後得到「a^m b^{n + 2}」，這與你的語言不符。完成。我們也可以抽1次，n次，n！階乘時間，任何你需要讓它離開語言的東西。

這個定理的證明繞了一圈說如果你有一個正規的語言，那麼你有一個自動機有一些固定的n狀態。如果一個字符串有超過n個字符，那麼它必須經過自動機中的某個循環。如果我們在進入循環之前將字符串的一部分命名爲x，並且將循環中的部分命名爲y，很明顯我們可以根據需要多次執行y循環，因爲我們可以根據需要多次循環運行循環，並且結果字符串必須使用該語言，因爲它會被該自動機識別。爲了用這個定理證明非規律性，由於我們不知道假定的自動機將如何，我們必須讓對手選擇n和自動機內週期的位置（不會有自動機，但是你對敵人說了這樣的話：敢給我一個自動機，我會告訴你它不能存在。）