如何在Mathematica中進行替換？

Question

我剛剛開始使用Mathematica，並且我已經得到了關於進行替換的一個非常基本的問題，但是我無法實現它。

我想找到用於功能的功能披[X，Y]的歐拉 - 拉格朗日方程，然後使該函數披取代[X，Y]

如果我輸入以下：

VariationalD[tau*phi[x, y]^2 - 2*phi[x, y]^4 + phi[x, y]^6 + Dot[D[phi[x, y], {{x, y}}], D[phi[x, y, {{x, y}}]]], phi[x, y], {x, y}]

我得到

Plus[Times[2,tau,phi[x,y]],Times[-8,Power[phi[x,y],3]],Times[6,Power[phi[x,y],5]],Times[-2,Plus[Derivative[0,2][phi][x,y],Derivative[2,0][phi][x,y]]]] 

現在，如果我嘗試% /. phi[x,y] -> phi0[x,y] + psi[x,y]它使替代所有的多項式條款，但不包括衍生條款。

如何強制替換爲這些功能？

Answer 1

我同意所有的rcollyer說，但我認爲他的最終解決方案可能有點不透明。

，我能想出（這是基本相同rcollyer的）最簡單的規則是

{phi[x__] :> phi0[x] + psi[x], f_[phi][x__] :> f[phi0][x] + f[psi][x]} 

或可能出現的副作用少的東西是

{phi[x__] :> phi0[x] + psi[x], Derivative[n__][phi][x__] :> Derivative[n][phi0][x] + Derivative[n][psi][x]} 

這將是一個如果Derivative的Default屬性（比較Default[Times]與Default[Derivative]）更容易。它應該類似Default[Derivative] := Sequence[]，但不幸的是，對於模式匹配不太好。

再回到你的問題，你可能要定義像

VariationalD[expr_, sym_, var_] := Module[{ 
    vRule = {sym[x__] :> sym[x] + var[x], 
    Derivative[n__][sym][x__] :> Derivative[n][sym][x] + Derivative[n][var][x]}}, 
    (expr /. vRule) - expr] 

其中符號sym的變化var被認爲是小東西。當然，你需要做的是圍繞var=0進行系列擴展，只保留線性部分。然後使用任何具有var衍生產品的術語，按部件進行整合。所有這些都應該包含在上面的模塊中。

Answer 2

首先，您錯誤地在您的二階導數中放置了]，它應該爲D[phi[x, y], {{x, y}}]]而不是D[phi[x, y, {{x, y}}]]]。

也就是說，在Mathematica中的替換可能會非常棘手，正如在其他questions中已經指出的那樣。這並不是說這是不可能的，只需要一些工作。在這種情況下，問題出在phi[x,y]不同於Derivative[2, 0][phi][x, y]。所以，你的模式不符合派生詞。最簡單的做法是將規則

Derivative[a__][phi][x__]:> Derivative[a][phi0][x] + Derivative[a][psi][x] 

添加到您的替換規則列表中。需要注意的三件事：1）我使用ReplaceDelayed，這樣兩種類型的衍生產品都會匹配而不需要編寫多個規則，2）因爲我可以使用模式，所以我給它們命名以便我們可以在規則的RHS上引用它們，3 ）當定義a和x時，我使用了double underscore，它將匹配序列中的一個或多個項目。

當然，這不是解決問題的最令人滿意的方式，因爲每次希望這種替換時都需要您編寫兩條規則。事實證明，更普遍的方法令人驚訝地難以完成，我必須回到你身上。

編輯：這需要一個雙置換，如下

<result> /. phi -> phi0 + psi /. a_[b__][c__] :> Through[Distribute[a[b]][c]] 

Distribute確保衍生物與Plus正常運行，並且Through確實與函數參數c相同。關鍵是Derivative[2, 0][phi][x, y]的Head是Derivative[2, 0][phi]，因此規則中有幾個方括號。