產品和副本產品

Question

在閱讀Bartosz優秀的Category theory for Programmers時，我陷入了第二個練習中，該練習涉及到posets中的產品。給定一個poset，

b e 
    ↗ ⤭ ↘ 
a → c f → h 
    ↘ ⤭ ↗ 
    d g 

如何定義產品的分類意義？什麼是由兩個對象的產品分類的？那副產品呢？

Answer 1

讓我們一起來看看產品的定義，第一：

對象a和b的產品配備了態射p :: c -> a和q :: c -> b存在，使得對任何其他對象c'（與對象c態射p' :: c' -> a和q' :: c' -> b），存在態射m :: c' -> c，使得p' = p . m和q' = q . m。

請記住，poset中的態射主要描述關係「小於或等於」。

現在產物c對象和b之間的兩個a必須小於或等於兩個a和b的對象。作爲一個例子，讓我們選擇a爲e和b爲g從圖表：

b e -- this one is a 
    ↗ ⤭ ↘ 
a → c f → h 
    ↘ ⤭ ↗ 
    d g -- this one is b 

中平凡，想到的是小於或等於任何其他對象總是的第一個對象是最小的對象，在這種情況下，a。

現在是a產品e和g的有效候選人？讓我們來看看產品的定義：

是否有從a到e？是的，這存在並且可以寫爲pₐ = ce . ac（讀作：「首先是從a到c的箭頭，然後是從c到e的箭頭」）。

是否有從a到g的morhism？是的，這也存在，可以寫成qₐ = cg . ac。

到目前爲止這麼好，唯一的問題就是這是否是「最好的」候選者，因爲沒有其他對象存在，因此我們可以在a和另一個候選者之間構造一個獨特的同構？

看圖中，我們可以看到對象c也符合要求的標準，其中p = ce和q = cg。

所有剩下要做的就是根據上面的定義對這兩個對象進行排序。我們看到存在從a到c的態射。這意味着c必須是最好的候選人，因爲我們現在可以定義態射m = ac，使得pₐ = p . m = ce . ac和qₐ = q . m = cg . ac。

因此，poset中兩個對象的乘積實際上是兩者都小於兩者（也稱爲最大下界）的最大對象。值得注意的是，在總排序中，這對應於函數min(a, b)，因爲每個對象都必須與任何其他對象相關聯（Wolfram將其稱爲trichotomy law）。

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模數轉換器產品定義時，副產物對應於最小對象大於或等於兩個a和b。在總排序中，這對應於兩個對象的最大值。你可以爲自己工作。