幫助瞭解這些方程？

Question

我問關於碧線性變換一個問題和接收這樣的回答：

從你發帖說非常頁，有對源代碼 的鏈接。我會解釋雙線性變換中

http://www.antigrain.com/__code/include/agg_trans_bilinear.h.html

這裏的想法是找到形式的轉變：

output_x = a * input_x + b * input_x * input_y + c * input_y + d 
output_y = e * input_x + f * input_x * input_y + g * input_y + h 

術語「雙線性」來自每個這些方程是線性的 其中任一個輸入座標本身。我們想要解決 a，b，c和d的正確值。假設您想要映射到的（0,0），（1,0），（0,1）， （1,1）（或某個圖像座標系）。

對於，B，C，d：

0 = a * r1_x + b * r1_x * r1_y + c * r1_y + d 
1 = a * r2_x + b * r2_x * r2_y + c * r2_y + d 
0 = a * r3_x + b * r3_x * r3_y + c * r3_y + d 
1 = a * r4_x + b * r4_x * r4_y + c * r4_y + d 

爲E，F，G，H：

0 = e * r1_x + f * r1_x * r1_y + g * r1_y + h 
0 = e * r2_x + f * r2_x * r2_y + g * r2_y + h 
1 = e * r3_x + f * r3_x * r3_y + g * r3_y + h 
1 = e * r4_x + f * r4_x * r4_y + g * r4_y + h 

可以解決這個問題，但是你最喜歡的。 （如果你熟悉 矩陣符號，這些矩陣方程的矩陣 是相同的，然後你只需要找到LU分解 一次，並解決兩個未知的向量）。然後應用係數 將矩形的內部映射到矩形的 中的位置。

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的問題是，我有input_x和input_y藏漢爲R1，R2，R3，R4，但我不知道如何實現output_x和output_y。我如何解決這樣一個等式？我只熟悉用兩個變量求解方程。

謝謝

Answer 1

這是你找到的一個可怕的解釋。希望我能幫助你理解發動機蓋下發生了什麼。

你想要做的是將矩形區域（一個四邊形）映射到另一個（任意形狀）的四邊形。讓我們先從一個簡單的情況：直線​​插補（發現沿線騙值）

如果你有從線到B，那麼你可以用這個公式計算髮現該線路上的任何一點「C」 ：

c = ((1 - p) * a) + (p * b); 

這個'混合'（插值）兩個位置之間的直線（線性）的值。如果使用p = 0，則方程變爲

c = (1 * a) + (0 * b) = a 

因此在p = 0時，等式給出點'a'。

當p = 1時，該方程變爲：

c = (0 * a) + (1 * b) = b 

所以在P = 1時，方程給你點 'B'。

在p的中間值處，可以得到a和b之間的直線上的點。 （所以在p = 0.5時，你得到的點恰好在a和b之間）

因此，要將屏幕上的一行像素複製到屏幕上的另一行，我們可以使用線性插值來查找位置在讀取和寫入的行上。

for (float p = 0.0; p <= 1.0; p += 0.1) // copy 10 pixels from line 1 to line 2 
    DrawPixelOnLine2(p, GetPixelFromLine1(p)); 

這兩種方法只是將使用線性插值計算正確的位置讀取和繪製像素，這樣的：

int ax = 0, ay = 100, bx = 50, by = 170; // line a-b goes from (0,100) to (50,170) 

int px = ((1-p) * ax) + (p * bx);   // calc the x and y values separately 
int py = ((1-p) * ay) + (p * by); 

（請注意，我必須使用計算兩次做2D位置，我可以通過簡單地爲az/bz/pz座標添加相同的計算值來插入3D）

因此，現在您可以將點從一條任意直線複製到另一條直線。

雙線性插值是完全一樣的，只是我們想找到一個矩形內，而不是行內的一個點，所以我們需要兩個維度來描述，其中一點是在矩形（沿底部PX矩形的邊，並且在矩形的邊上）。現在，您可以使用（px，py）座標對定位矩形中的任意點。

要做上面的映射，我們只需要在兩個維度上進行線性插值計算：首先我們沿着底部和沿着頂部插入，以找到垂直通過矩形中間的一條線的兩個端點。然後我們沿着這條垂直線進行插值，找到矩形中間的最後一個點。

「矩形」不需要是矩形。這兩個尺寸可用於任何四邊形（即，您可以將矩形的角點移動到任意位置，並且方程仍然會找到角之間的位置以填充形狀所包圍的區域）

在你找到的例子中，作者用四個點來描述源的形狀（a，b，c，d），另外四個點用來描述目標形狀（e，f，g，h）

In此外，他們通過求解方程組來填充變換矩陣，使得計算更加高效，該變換矩陣可以與點相乘以進行映射過程。但是，效果與我上面描述的相同。希望我的解釋能讓你更容易「看到」方程式在做什麼。

Answer 2

如果要將矩形映射到另一個矩形，則需要進行簡單的線性變換。要將點r映射到點q，您需要：

qx = arx + bry + c 
qy = drx + ery + f

有6個變量，您需要6個方程（3分）。到矩形r映射到矩形問：

q1x = a*r1x + b*r1y + c 
q1y = d*r1x + e*r1y + f 
q2x = a*r2x + b*r2y + c 
q2y = d*r2x + e*r2y + f 
q3x = a*r3x + b*r3y + c 
q3y = d*r3x + e*r3y + f

從上面你必須解決2個系統3個的線性方程組，每3個變量。只要點不同並且不共線（只要矩形拐角滿足），它們就會有1個解。