將最小可能浮點數添加到浮點數

Question

我想將浮點數的最小可能值添加到浮點數。因此，舉例來說，我想這樣做是爲了得到1.0 +可能的最小浮動：

float result = 1.0f + std::numeric_limits<float>::min(); 

但這樣做，我得到下面的結果後：我使用Visual Studio 2015年

(result > 1.0f) == false 
(result == 1.0f) == true 

。爲什麼會發生這種情況？我能做些什麼來解決它？

Answer 1

如果您想要1後面的下一個可表示值，那麼將會有一個名爲std::nextafter的函數，該函數來自<cmath>標頭。

float result = std::nextafter(1.0f, 2.0f); 

它從第一個參數開始向第二個參數的方向返回下一個可表示的值。所以，如果你想找到低於1的下一個值，你可以這樣做：

float result = std::nextafter(1.0f, 0.0f); 

添加的最小正表示值1不起作用，因爲1和一個可表示的值之間的差大於大0與下一個可表示值之間的差值。

Answer 2

min是（歸一化形式）float可以假定的最小非零值，即大約2 ^-126（-126是浮點的最小允許指數）;現在，如果你總結爲1，你仍然會得到1，因爲float只有23位尾數，所以這樣一個小的變化不能用這麼大的數字表示（你需要一個126位的尾數才能看到1的變化總和）。

的最小可能的改變爲1，相反，是epsilon（所謂機器最小），這實際上是2 ^-23 - 因爲它影響尾數的最後一個比特。

Answer 3

您正在觀察的「問題」是由於浮點運算的非常自然的。

在FP中，精度取決於規模;圍繞價值1.0精度是不夠的，能夠1.0和1.0+min_representable其中min_representable可能是最小的值大於零（即使我們只考慮最小規格化數，std::numeric_limits<float>::min()更大的區分。最小的非正規的幅度的另一少量訂單小）。

例如與雙精度64位IEEE754浮點數字，周圍的x=10000000000000000規模（10 ）這是不可能的x和x+1之間進行區分。

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事實上，帶有刻度的分辨率的變化是非常之所以命名爲「浮點」，因爲小數點「浮動」。一個固定點表示反而會有一個固定的分辨率（例如16個二進制數字低於你的單位精度爲1/65536〜0.00001）。

例如在IEEE754 32位浮點格式有一個比特的標誌，用於指數的8位和用於尾數31位：

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的最小值eps，使得1.0f + eps != 1.0f可用作預定義的常數，如FLT_EPSILON或std::numeric_limits<float>::epsilon。另請參閱machine epsilon on Wikipedia，其中討論了epsilon與舍入錯誤的關係。

I.e. epsilon是您在此期待的最小值，在添加到1.0時有所作爲。

這個（對於1.0以外的數字）更通用的版本在尾數（尾數）被稱爲1個單位。請參閱維基百科的ULP article。

Answer 4

要將浮點值增加/減少最小可能值，請使用nextafter朝向+/- infinity()。

如果您只是使用next_after(x,std::numeric_limits::max())，如果x是無窮大，結果將會出錯。

#include <iostream> 
#include <limits> 
#include <cmath> 

template<typename T> 
T next_above(const T& v){ 
    return std::nextafter(1.0,std::numeric_limits<T>::infinity()) ; 
} 
template<typename T> 
T next_below(const T& v){ 
    return std::nextafter(1.0,-std::numeric_limits<T>::infinity()) ; 
} 

int main(){ 
    std::cout << next_below(1.0) - 1.0<< std::endl; // gives eps 
    std::cout << next_above(1.0) - 1.0<< std::endl; // gives ~ -eps/2 

    // Note: 
    std::cout << std::nextafter(std::numeric_limits<double>::infinity(), 
    std::numeric_limits<double>::infinity()) << std::endl; // gives inf 
    std::cout << std::nextafter(std::numeric_limits<double>::infinity(), 
    std::numeric_limits<double>::max()) << std::endl; // gives 1.79769e+308 

}