java.lang.Math是否在「ULP內」獨佔或包含？

Question

java.lang.Math文檔說的許多功能，如Math.pow：

計算結果必須是內準確結果的1 ulp。

但我一直沒能找到這是什麼意思。它是獨佔的還是包容性的？換句話說，如果精確的結果可以用double表示，那麼返回的值是否包含精確的結果，或者它可能仍然是1 ULP？

例如，我們可以依靠Math.pow(3.0, 2.0) == 9.0嗎？我知道使用平等比較對於雙打來說幾乎總是一個壞主意，所以我主要是出於好奇心，並且當他們做那樣的事時能夠指出人們的錯誤（或讓他們放心）。

Answer 1

僅供參考，

實施規範中關注兩個屬性，返回結果的 準確性和方法的單調性的質量。 浮點型數學方法的精度以 ulps單位測量。對於給定的浮點格式，特定實數值的ulp是兩個包含該數值的浮點值之間的距離。當討論 作爲一個整體的方法的準確性而不是在特定的 的論點時，所引用的ulps的數量是針對任何 論點的最差情況誤差。如果一個方法總是有小於0.5 ulps的錯誤，那麼 方法總是返回最接近精確的 結果的浮點數;這種方法正確舍入。正確舍入的方法 通常是最好的浮點近似值;然而， 許多浮點方法正確 四捨五入是不切實際的。

相反，對於Math類，對於某些方法，允許1或2個ulps的誤差範圍較大，爲 。 非正式地，如果確切結果是一個可表示的數字，則有1個ulp錯誤界限， ，應該返回確切結果 作爲計算結果;否則， 中包含精確結果的兩個浮點值中的任一值可能會返回 。

對於量級較大的確切結果，括號中的一個端點可能是無限的。除了在單個參數上的準確性之外，在不同參數 之間保持方法之間的適當關係的 也是重要的。因此，大多數誤差超過0.5 ulp的方法都需要是半單調的：只要數學函數不減少，每當數學函數不增加時，浮點近似也是如此，因此，如此是 的浮點近似。並非所有具有ulp精度的近似值都會自動滿足單調性要求。

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