使用1，2，3，4，5查找5位數字的數字 - 其中前k位數字不僅是0到k

Question

問題是要找到可能使用1,2,3的5位數字的數字，4和5作爲數字，其中前k個數字組（k是自然數，並且k < 5）不等於從1到k的數字組。

說明 - 設置元素的順序無關緊要。 {1,2}與{2,1}相同，即{1,2} = {2,1}。

例如，在54213是一個正確的數，它將被算作！ - 如

• k = 1時，我們得到{5}，和{5} = {1}
• K = 2，{5,4}！= {1,2}
• k = 3，{5,4,2}！= {1,2,3}
• k = 4，{5,4,2 ，1}！= {1,2,3,4}

而且，對於k = 1，{1} = {1}，號碼13245無效。

獎金問題，發現與相同標準和數字1，2，3，4，5 6位可能的數字個數，& 6.

編輯 - 我爲不具有隨後遺憾這與我的方法。我在下面添加了我的解決方案。

Answer 1

給定數字可能的5位數字的數量= 5！ = 120

讓我們考慮一下不會形成的數字。

1. 1 _ _ _ _ = 4！ = 24（顯然，k = 1 {1} = {1}）
2. 2 1 _ _ _ = 3！ = 6（顯然，k = 2 {2,1} = {1,2}，我們也不會考慮1 2 _ _ _，因爲它已包含在1）
3. 2 3 1 _ _ = 2 ！ = 2
4. 3 1 2 _ _ = 2！ = 2
5. 3 2 1 _ _ = 2！ = 2
6. 2 3 4 1 _ = 1
7. 2 4 1 3 _ = 1
8. 2 4 3 1 _ = 1
9. 3 1 4 2 _ = 1
10. 3 2 4 1 _ = 1
11. 3 4 2 1 _ = 1
12. 3 4 1 2 _ = 1
13. 4 - - - _ = 3！ X 1 = 6

總數= 49

（其中虛線可以通過1，2，3被填充），但也有將NOT例。現在，需要= 120的情況下 - 49 = 71

對於6，I使用遞歸，如清楚地在5情況下，系列（對於不被形成的數字）是

1× 4！ + 1 x 3！ + 3 x 2！ + 13 x 1！（其中1,1,3和13是針對給定條件的解決方案，分別爲1位，2位，3位和4位）

（即，對於1位數僅使用1，其中k < 1，k是自然數，可能的位數 - 1（1）。對於僅使用1，2的2位數字，其中k < 2，可能的位數 - 1（21）。 3，它是321，231，312等）

因此，對於圖6，序列變爲

1×5！ + 1 x 4！ + 3 x 3！ + 13 x 2！ + 71（其中，71是用於第5個位數給定的條件的溶液）

= 259

即6，解決方案= 6！ - 259 = 461