簡化布爾表達式A'BC + AB'C + A'B'C'+ AB'C + ABC

Question

這裏需要幫助，這個布爾表達式的簡化形式是什麼？ 我對此有點困惑，幫幫我！

A'BC + AB'C + A'B'C' + AB'C + ABC 

Answer 1

假設⋅操作者表示二進制相結合，+二進制析取和'或¬一元否定，可以應用的Boolean algebra規律：

¬a⋅b⋅c + a⋅¬b⋅c + ¬a⋅¬b⋅¬c + a⋅¬b⋅c + a⋅b⋅c 
¬a⋅b⋅c + a⋅¬b⋅c + ¬a⋅¬b⋅¬c + a⋅b⋅c //idempotence of +: a⋅¬b⋅c + a⋅¬b⋅c = a⋅¬b⋅c 
b⋅c⋅(¬a + a) + a⋅¬b⋅c + ¬a⋅¬b⋅¬c //distributivity:¬a⋅b⋅c + a⋅b⋅c = b⋅c⋅(¬a + a) 
b⋅c⋅(1) + a⋅¬b⋅c + ¬a⋅¬b⋅¬c  //complementation: ¬a + a = 1 
b⋅c + a⋅¬b⋅c + ¬a⋅¬b⋅¬c   //identity for ⋅: b⋅c⋅(1) = b⋅c 
b⋅c + a⋅b⋅c + a⋅¬b⋅c + ¬a⋅¬b⋅¬c //absorption: b⋅c = b⋅c + a⋅b⋅c 
b⋅c + a⋅c⋅(b + ¬b) + ¬a⋅¬b⋅¬c  //distributivity: a⋅b⋅c + a⋅¬b⋅c = a⋅c⋅(b + ¬b) 
b⋅c + a⋅c⋅(1) + ¬a⋅¬b⋅¬c   //complementation: b + ¬b = 1 

b⋅c + a⋅c + ¬a⋅¬b⋅¬c    //identity for ⋅: a⋅c⋅(1) = a⋅c 

最後一行是原始表達的最小DNF。你也可以將它到它的最小CNF：

b⋅c + a⋅c + ¬a⋅¬b⋅¬c 
(b⋅c + a⋅c) + (¬a⋅¬b⋅¬c) 
((b⋅c + a⋅c) + ¬a)⋅((b⋅c + a⋅c) + ¬b)⋅((b⋅c + a⋅c) + ¬c) //distributivity 
(b⋅c + a⋅c + ¬a) ⋅ (b⋅c + a⋅c + ¬b) ⋅ (b⋅c + a⋅c + ¬c) 
(b⋅c + c + ¬a) ⋅ (b⋅c + a⋅c + ¬b) ⋅ (b⋅c + a⋅c + ¬c) //absorption 
(b⋅c + c + ¬a) ⋅ (c + a⋅c + ¬b) ⋅ (b⋅c + a⋅c + ¬c) //absorption 
(b⋅c + c + ¬a) ⋅ (c + a⋅c + ¬b) ⋅ (b + a + ¬c)  //absorption 
(c + ¬a)  ⋅ (c + a⋅c + ¬b) ⋅ (b + a + ¬c)  //absorption 
(c + ¬a)  ⋅ (c + ¬b)   ⋅ (b + a + ¬c)  //absorption 

(¬a + c)⋅(¬b + c)⋅(a + b + ¬c) 

對於這種少量的變量，你也可以使用卡諾圖。在圖片可以看到標註出來三等表達（使用乳膠生成） - 原來，這是最小的DNF，它的最小CNF：

f(a,b,c) = ¬a⋅b⋅c + a⋅¬b⋅c + ¬a⋅¬b⋅¬c + a⋅b⋅c 
     = b⋅c + a⋅c + ¬a⋅¬b⋅¬c 
     = (¬a + c)⋅(¬b + c)⋅(a + b + ¬c)