2D矩陣內HxW的最大子陣列

Question

給定一個二維正整數數組，找到總和最大的HxW大小的子矩形。矩形的總和是該矩形中所有元素的總和。

輸入： 2D陣列的N×N具有正元素 的子矩形的大小HXW

輸出： HXW大小與它的元件的最大總和的子矩陣。我已經使用強力方法解決了這個問題，但是，我現在正在尋找一個更好的解決方案，它具有更好的複雜性（我的蠻力方法的複雜性是O（n ））。

Answer 1

首先創建矩陣的累積和：爲O（n 2 ）

Matrix 
2 4 5 6 
2 3 1 4 
2 0 2 1 

Cumulative sum 
2 6 11 17 
4 11 17 27 
6 13 21 32 

cumulative_sum(i,j)在submatrix (0:i,0:j)所有元素的總和。 可以使用以下邏輯計算累積和矩陣：

cumulative_sum(i,j) = cumulative_sum(i-1,j) + cumulative_sum(i,j-1) - cumulative_sum(i-1,j-1) + matrix(i,j) 

使用的累積和矩陣就可以計算出在o每個子矩陣的總和（1）：

calculating sum of submatrix (r1 ... r2 , c1 ... c2) 
sum_sub = cumulative_sum(r2,c2) - cumulative_sum(r1-1,c2) - cumulative_sum(r2,c1-1) + cumulative_sum(r1-1,c1-1) 

然後使用兩個循環，您可以將矩形的左上角放在矩陣的每個點上，並計算矩形的總和。

for r1=0->n_rows 
    for c1=0->n_cols 
     r2 = r1 + height - 1 
     c2 = c1 + width - 1 
     if valid(r1,c1,r2,c2) // doesn't exceed the original matrix 
      sum_sub = ... // formula mentioned above 
      best = max(sum_sub, best) 
return best 

這種方法在O（N 2 ）。

下面是Python實現：

from copy import deepcopy 

def findMaxSubmatrix(matrix, height, width): 
    nrows = len(matrix) 
    ncols = len(matrix[0])   

    cumulative_sum = deepcopy(matrix) 

    for r in range(nrows): 
     for c in range(ncols): 
      if r == 0 and c == 0: 
       cumulative_sum[r][c] = matrix[r][c] 
      elif r == 0: 
       cumulative_sum[r][c] = cumulative_sum[r][c-1] + matrix[r][c] 
      elif c == 0: 
       cumulative_sum[r][c] = cumulative_sum[r-1][c] + matrix[r][c] 
      else: 
       cumulative_sum[r][c] = cumulative_sum[r-1][c] + cumulative_sum[r][c-1] - cumulative_sum[r-1][c-1] + matrix[r][c] 

    best = 0 
    best_pos = None 

    for r1 in range(nrows): 
     for c1 in range(ncols): 
      r2 = r1 + height - 1 
      c2 = c1 + width - 1 
      if r2 >= nrows or c2 >= ncols: 
       continue 
      if r1 == 0 and c1 == 0: 
       sub_sum = cumulative_sum[r2][c2] 
      elif r1 == 0: 
       sub_sum = cumulative_sum[r2][c2] - cumulative_sum[r2][c1-1] 
      elif c1 == 0: 
       sub_sum = cumulative_sum[r2][c2] - cumulative_sum[r1-1][c2] 
      else: 
       sub_sum = cumulative_sum[r2][c2] - cumulative_sum[r1-1][c2] - cumulative_sum[r2][c1-1] + cumulative_sum[r1-1][c1-1] 
      if best < sub_sum: 
       best_pos = r1,c1 
       best = sub_sum 

    print "maximum sum is:", best 
    print "top left corner on:", best_pos 


matrix = [ [2,4,5,6], 
      [2,3,1,4], 
      [2,0,2,1] ] 
findMaxSubmatrix(matrix,2,2) 

輸出

maximum sum is: 16 
top left corner on: (0, 2)