對應於Haskell中常見monads的伴隨函子對是什麼？

Question

在分類理論中，monad可以由兩個伴隨函數構成。特別是，如果Ç和d是類別和FⅧ：C - > d和G：d - 「ç是伴隨函子，在這個意義上，有一個雙射

坎（FX，Y）=坎（X，GY）

每個X在ç和ÿ in D then the composition G o F：C - > C是一個monad。

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一種這樣的一對伴隨函子可以通過固定型b並採取F和G給予是

data F b a = F (a,b) 
data G b a = G (b -> a) 

instance Functor (F b) where 
    fmap f (F (a,b)) = F (f a, b) 

instance Functor (G b) where 
    fmap f (G g) = G (f . g) 

和HOM-集之間的雙射由討好給出（模構造函數） ：

在這種情況下

iso1 :: (F b a -> c) -> a -> G b c 
iso1 f = \a -> G $ \b -> f (F (a,b)) 

iso2 :: (a -> G b c) -> F b a -> c 
iso2 g = \(F (a,b)) -> let (G g') = g a in g' b 

相應單子是

data M b a = M { unM :: b -> (a,b) } 

instance Monad (M b) where 
    return a = M (\b -> (a,b)) 
    (M f) >>= g = M (\r -> let (a,r') = f r in unM (g r') a) 

我不知道這個單子的名稱應該是什麼，但它似乎像一個讀者單子，圍繞一塊過寫信息（編輯載： dbaupp中指出，評論說，這是State單子。）

所以State單子可以「分解」爲一對伴隨函子F和G的，我們可以寫

State = G . F 

到目前爲止，一切都很好。

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現在，我試圖找出如何分解等常見單子到對伴隨函子 - 例如Maybe，[]，Reader，Writer，Cont - 但我不能找出對什麼伴隨函數，我們可以將它們「分解」成它們。

唯一簡單的情況似乎是Identity單子，它可以被分解爲任意一對函子F的和G使得F是逆G（在尤其，可以只取F = Identity和G = Identity）。

任何人都可以點亮一下嗎？

Answer 1

您要找的是Kleisli category。它最初是爲了表明每個monad可以由兩個伴隨函數構造而成。

問題是，Haskell Functor不是一個泛型函數，它是Haskell類別中的內函數。因此，我們需要不同的東西（據我所知）其它類之間代表函子：

{-# LANGUAGE FunctionalDependencies, KindSignatures #-} 
import Control.Arrow 
import Control.Category hiding ((.)) 
import qualified Control.Category as C 
import Control.Monad 

class (Category c, Category d) => CFunctor f c d | f -> c d where 
    cfmap :: c a b -> d (f a) (f b) 

注意，如果我們採取->兩個c和d我們得到的哈斯克爾類別的內切仿函數，它是剛剛類型fmap：

cfmap :: (a -> b) -> (f a -> f b) 

現在我們有一個代表兩個給定類別c和d，我們可以表達對一個給定的單子兩個伴隨函子之間的函子顯式類型類。左邊的一個映射對象a只是a和映射態射f到(return .) f：

-- m is phantom, hence the explicit kind is required 
newtype LeftAdj (m :: * -> *) a = LeftAdj { unLeftAdj :: a } 
instance Monad m => CFunctor (LeftAdj m) (->) (Kleisli m) where 
    cfmap f = Kleisli $ liftM LeftAdj . return . f . unLeftAdj 
    -- we could also express it as liftM LeftAdj . (return .) f . unLeftAdj 

右一個映射對象a反對m a和同態映射g到join . liftM g，或等同於(=<<) g：

newtype RightAdj m a = RightAdj { unRightAdj :: m a } 
instance Monad m => CFunctor (RightAdj m) (Kleisli m) (->) where 
    cfmap (Kleisli g) = RightAdj . join . liftM g . unRightAdj 
    -- this can be shortened as RightAdj . (=<<) g . unRightAdj 

（如果有人知道如何在Haskell中表達這個更好的方法，請告訴我。）

Answer 2

• Maybe來自自由仿成尖套類別和健忘函子回
• []來自自由仿成類羣的分類和健忘函子回

但這些都不類別是Hask的子類別。

Answer 3

正如你所觀察到的，每對伴隨函數都會產生一個monad。反之亦然：每一個monad都以這種方式出現。事實上，它是以兩種規範的方式進行的。一個是Petr描述的Kleisli建築;另一個是Eilenberg-Moore建築。事實上，Kleisli是最初的這種方式，而E-M是終端之一，在一對合適的函子的適當類別中。他們在1965年被獨立發現。如果你想了解細節，我強烈推薦Catsters videos。