有關簡單因子函數的機制的解釋

Question

我是Haskell的新手，所以我既天真又好奇。

有一個階乘函數的定義：

factorial n = product [1..n] 

我天真地明白這一點爲：使每一批產品1和n之間。那麼，爲什麼

factorial 0 

返回1（這是很好的結果，據我的數學是不是太生鏽）？

謝謝

Answer 1

這是因爲如何product定義，是這樣的：

product []  = 1 
product (n:ns) = n * product ns 

或等價

product = foldr (*) 1 

通過重要的功能 foldr

：

foldr f z []  = z 
foldr f z (x:xs) = f x (foldr f z xs) 

閱讀上折here。但基本上，任何遞歸都必須有一個基本情況，並且product的基本情況（在空列表中）顯然必須是1.

Answer 2

不知道我明白你的問題，你問的是如何編寫這樣一個函數？

只是作爲一個練習，您可以使用模式匹配接近這樣的：

factorial :: Int->Int 
factorial 0 = 1 
factorial n = product [1..n] 

第一行是函數的聲明/簽名類型。第二行是定義函數的方程式 - Haskell模式匹配將實際運行時參數與適合的方程式匹配。

當然，正如其他人指出的，產品功能正確地爲您處理零案件。

Answer 3

傳統上定義空列表的所有元素的乘積爲1 ，正如傳統的那樣，將空列表的所有元素的總和定義爲0.這樣，

(product list1) * (product list2) == product (list1 ++ list2) 

以及其他方便的屬性。

此外，你的記憶是正確的，0！定義爲1.這也有許多方便的屬性，包括與gamma function中的階乘定義一致。

Answer 4

關於的故事空的產品是漫長而有趣的。

• It has many sense to define it as 1。
• 儘管如此，關於我們是否有理由將0定義爲1是有理由的，儘管在大多數情況下也可以認爲它是空產品。參見辯論here和here。

現在我舉一個例子，當空產品約定可以產生一個令人驚訝的，不直觀的結果。

如何定義概念素數，無需明確排除1？看起來很不美觀，說「除了這個和那個以外，總理是這樣那樣的」。素數的概念可以用一些方便的定義來定義，它可以用「自然」，「自動」的方式排除1，而沒有明確提到排除？

讓我們來試試這個方法：

讓我們把一個自然數Ç複合，當且僅當Ç可以寫成的一些一個 產品，...，⋅a _n自然數，因此它們全部必須不同於c。

讓我們把一個自然數p素，當且僅當p不能寫任何的產物 ，一個_ň自然數分別從p不同。

讓我們測試該方法是否是任何良好：

6 = 6⋅1
            3⋅2
6是複合材料，該事實通過以下因式分解目擊：6可以寫成乘積3⋅2，或換句話說，⟨3,2⟩序列的乘積，記爲Π⟨3,2⟩。

到現在爲止，我們的新方法是O.K.

5 = 5⋅1
            1⋅5
5是素數，沒有序列⟨一個 ，... 一個_Ñ⟩

• 其所有成員a ，...一個_ñ將從5
• 不同，但產品本身，Π⟨一個 ，... 一個_Ñ⟩將等於5.

到目前爲止，我們的新方法是可以的

現在讓我們來研究1：

1 =Π⟨⟩，

空的產品是一個很好的見證，有了它，1個滿足的是一個複合定義（!!!）誰是證人？見證分解在哪裏？它不是空產品Π⟨⟩，即空序列product的產品。

• Π⟨⟩等於1個
• 空產物Π⟨⟩的所有因素，即，空序列的成員⟨⟩滿足它們中的每1不同：僅僅是因爲空序列⟨⟩不根本沒有任何成員，因此它的成員都不能等於1.（這個論證只是一個vacuous truth, with members of the empty set）。

因此1是一個複合（具有Π⟨⟩空產品的平凡分解）。

因此，根據定義，1被自然且自動地排除在外。我們達到了我們的目標。爲此，我們利用了有關空產品爲1的約定。

一些缺點：雖然我們成功地排除了1是素數，但同時0「滑入」：0成爲素數（至少在零因子自由環中，如自然數）。雖然這個奇怪的東西使得一些定理在形式上更加簡潔（哥德巴赫猜想，算術基本定理），但我不能忍受它不是缺點。

一個更大的缺點，一些算術的概念似乎變得站不住腳，這種新方法。在任何情況下，我只想證明將空產品定義爲1可以使形式化的不直觀的事情（這不一定是一個問題，集合理論充斥着不直觀的東西，參見how to produce gold for free），但同時，它可以在某些情況下提供有用的力量。