如何指定梯度函數以用於optim（）或其他優化器

Question

我有一個優化問題，Nelder-Mead方法將解決，但我也想用BFGS或Newton-Raphson解決，或採取某些措施一個梯度函數，更快的速度，並希望更精確的估計。我在optim/optimx文檔中編寫了這樣一個漸變函數，但是當我將它與BFGS一起使用時，我的起始值不會移動（optim()），否則函數徹底不能運行（optimx() ，它返回Error: Gradient function might be wrong - check it!）。對不起，有一些代碼涉及再現這一點，但這裏有：

這是我想獲得參數估計的函數（這是爲了平滑老年死亡率，其中x是年齡，開始於80歲）：

KannistoMu <- function(pars, x = .5:30.5){ 
     a <- pars["a"] 
     b <- pars["b"] 
     (a * exp(b * x))/(1 + a * exp(b * x)) 
    } 

，這裏是一個數似然函數從觀察率（定義爲死亡，.Dx過度曝光，.Exp）估計它：

KannistoLik1 <- function(pars, .Dx, .Exp, .x. = .5:30.5){ 
     mu <- KannistoMu(exp(pars), x = .x.) 
     # take negative and minimize it (default optimizer behavior) 
     -sum(.Dx * log(mu) - .Exp * mu, na.rm = TRUE) 
    } 

你在那裏貝科看到exp(pars)使用我給log(pars)進行優化，以便將最終的a和b限制爲正數。

實施例的數據（1962日本女性，如果任何人是好奇）：

.Dx <- structure(c(10036.12, 9629.12, 8810.11, 8556.1, 7593.1, 6975.08, 
     6045.08, 4980.06, 4246.06, 3334.04, 2416.03, 1676.02, 1327.02, 
     980.02, 709, 432, 350, 217, 134, 56, 24, 21, 10, 8, 3, 1, 2, 
     1, 0, 0, 0), .Names = c("80", "81", "82", "83", "84", "85", "86", 
     "87", "88", "89", "90", "91", "92", "93", "94", "95", "96", "97", 
     "98", "99", "100", "101", "102", "103", "104", "105", "106", 
     "107", "108", "109", "110")) 
    .Exp <- structure(c(85476.0333333333, 74002.0866666667, 63027.5183333333, 
     53756.8983333333, 44270.9, 36749.85, 29024.9333333333, 21811.07, 
     16912.315, 11917.9583333333, 7899.33833333333, 5417.67, 3743.67833333333, 
     2722.435, 1758.95, 1043.985, 705.49, 443.818333333333, 223.828333333333, 
     93.8233333333333, 53.1566666666667, 27.3333333333333, 16.1666666666667, 
     10.5, 4.33333333333333, 3.16666666666667, 3, 2.16666666666667, 
     1.5, 0, 1), .Names = c("80", "81", "82", "83", "84", "85", "86", 
     "87", "88", "89", "90", "91", "92", "93", "94", "95", "96", "97", 
     "98", "99", "100", "101", "102", "103", "104", "105", "106", 
     "107", "108", "109", "110")) 

以下作品爲Nelder-Mead方法：

NMab <- optim(log(c(a = .1, b = .1)), 
     fn = KannistoLik1, method = "Nelder-Mead", 
     .Dx = .Dx, .Exp = .Exp) 
    exp(NMab$par) 
    # these are reasonable estimates 
     a   b 
    0.1243144 0.1163926 

這是我想出了梯度函數：

Kannisto.gr <- function(pars, .Dx, .Exp, x = .5:30.5){ 
     a <- exp(pars["a"]) 
     b <- exp(pars["b"]) 
     d.a <- (a * exp(b * x) * .Exp + (-a * exp(b * x) - 1) * .Dx)/
     (a^3 * exp(2 * b * x) + 2 * a^2 * exp(b * x) + a) 
     d.b <- (a * x * exp(b * x) * .Exp + (-a * x * exp(b * x) - x) * .Dx)/
     (a^2 * exp(2 * b * x) + 2 * a * exp(b * x) + 1) 
     -colSums(cbind(a = d.a, b = d.b), na.rm = TRUE) 
    } 

輸出是一個長度爲2的向量，相對於p的變化參數a和b。我還通過利用deriv()的輸出達到了一個更醜陋的版本，該輸出返回相同的答案，並且我不發佈（只是爲了確認衍生物是正確的）。

如果我把它提供給optim()如下，BFGS爲手段，估計不會從初始值移動：

BFGSab <- optim(log(c(a = .1, b = .1)), 
     fn = KannistoLik1, gr = Kannisto.gr, method = "BFGS", 
     .Dx = .Dx, .Exp = .Exp) 
    # estimates do not change from starting values: 
    exp(BFGSab$par) 
     a b 
    0.1 0.1 

當我看到在輸出的$counts元素，它說，被稱爲31次，Kannisto.gr()只有1次。 $convergence是0，所以我想它認爲它收斂了（如果我給予不太合理的開始，他們也保持放置）。我減少了寬容等，沒有任何變化。當我在optimx()（未顯示）嘗試同樣的呼叫時，我收到上面提到的戰鬥，並且沒有任何對象返回。指定gr = Kannisto.gr與"CG"時，我會得到相同的結果。隨着"L-BFGS-B"方法我會得到相同的初始值追溯到估計，但也有報道，這兩個函數和梯度被稱爲21次，並有一條錯誤消息： "ERROR: BNORMAL_TERMINATION_IN_LNSRCH"

我希望有一些稍微詳細一點的梯度函數的寫法，將解決這個問題，因爲這個後來的警告和optimx行爲都直言不諱地暗示該函數根本不對（我認爲）。我也嘗試了maxLik包中的maxNR()最大化器，並觀察到類似的行爲（起始值不移動）。任何人都可以給我一個指針？非常感謝

[編輯] @Vincent建議我與輸出比較來自一個數值近似：

library(numDeriv) 
    grad(function(u) KannistoLik1(c(a=u[1], b=u[2]), .Dx, .Exp), log(c(.1,.1))) 
    [1] -14477.40 -7458.34 
    Kannisto.gr(log(c(a=.1,b=.1)), .Dx, .Exp) 
    a  b 
    144774.0 74583.4 

所以不同的符號，和關閉的10倍？我改變漸變功能跟風：

Kannisto.gr2 <- function(pars, .Dx, .Exp, x = .5:30.5){ 
     a <- exp(pars["a"]) 
     b <- exp(pars["b"]) 
     d.a <- (a * exp(b * x) * .Exp + (-a * exp(b * x) - 1) * .Dx)/
     (a^3 * exp(2 * b * x) + 2 * a^2 * exp(b * x) + a) 
     d.b <- (a * x * exp(b * x) * .Exp + (-a * x * exp(b * x) - x) * .Dx)/
     (a^2 * exp(2 * b * x) + 2 * a * exp(b * x) + 1) 
     colSums(cbind(a=d.a,b=d.b), na.rm = TRUE)/10 
    } 
    Kannisto.gr2(log(c(a=.1,b=.1)), .Dx, .Exp) 
    # same as numerical: 
     a   b 
    -14477.40 -7458.34 

嘗試在優化：

BFGSab <- optim(log(c(a = .1, b = .1)), 
     fn = KannistoLik1, gr = Kannisto.gr2, method = "BFGS", 
     .Dx = .Dx, .Exp = .Exp) 
    # not reasonable results: 
    exp(BFGSab$par) 
     a b 
    Inf Inf 
    # and in fact, when not exp()'d, they look oddly familiar: 
    BFGSab$par 
     a   b 
    -14477.40 -7458.34 

按照文森特的回答，我重新調整了梯度功能，並使用abs()代替exp()保持參數陽性。最近，更好地執行目標和梯度功能：

KannistoLik2 <- function(pars, .Dx, .Exp, .x. = .5:30.5){ 
     mu <- KannistoMu.c(abs(pars), x = .x.) 
     # take negative and minimize it (default optimizer behavior) 
     -sum(.Dx * log(mu) - .Exp * mu, na.rm = TRUE) 
    } 

    # gradient, to be down-scaled in `optim()` call 
    Kannisto.gr3 <- function(pars, .Dx, .Exp, x = .5:30.5){ 
     a <- abs(pars["a"]) 
     b <- abs(pars["b"]) 
     d.a <- (a * exp(b * x) * .Exp + (-a * exp(b * x) - 1) * .Dx)/
     (a^3 * exp(2 * b * x) + 2 * a^2 * exp(b * x) + a) 
     d.b <- (a * x * exp(b * x) * .Exp + (-a * x * exp(b * x) - x) * .Dx)/
     (a^2 * exp(2 * b * x) + 2 * a * exp(b * x) + 1) 
     colSums(cbind(a = d.a, b = d.b), na.rm = TRUE) 
    } 

    # try it out: 
    BFGSab2 <- optim(
     c(a = .1, b = .1), 
     fn = KannistoLik2, 
     gr = function(...) Kannisto.gr3(...) * 1e-7, 
     method = "BFGS", 
     .Dx = .Dx, .Exp = .Exp 
    ) 
    # reasonable: 
    BFGSab2$par 
      a   b 
    0.1243249 0.1163924 

    # better: 
    KannistoLik2(exp(NMab1$par),.Dx = .Dx, .Exp = .Exp) > KannistoLik2(BFGSab2$par,.Dx = .Dx, .Exp = .Exp) 
    [1] TRUE 

這是解決速度遠遠超過我所期待的，我學到比一些技巧了。感謝文森特！

Answer 1

要檢查梯度是正確的， 你可以用一個數值近似比較吧：

library(numDeriv); 
grad(function(u) KannistoLik1(c(a=u[1], b=u[2]), .Dx, .Exp), c(1,1)); 
Kannisto.gr(c(a=1,b=1), .Dx, .Exp) 

的標誌是錯誤的：該算法並沒有看到任何改善 當它移動在這個方向上，和因此不動。

你可以使用一些計算機代數系統（在這裏，千里馬） 爲你做了計算：

display2d: false; 
f(a,b,x) := a * exp(b*x)/(1 + a * exp(b*x)); 
l(a,b,d,e,x) := - d * log(f(a,b,x)) + e * f(a,b,x); 
factor(diff(l(exp(a),exp(b),d,e,x),a)); 
factor(diff(l(exp(a),exp(b),d,e,x),b)); 

我只是複製和結果粘貼到R：

f_gradient <- function(u, .Dx, .Exp, .x.=.5:30.5) { 
    a <- u[1] 
    b <- u[1] 
    x <- .x. 
    d <- .Dx 
    e <- .Exp 
    c(
    sum((e*exp(exp(b)*x+a)-d*exp(exp(b)*x+a)-d)/(exp(exp(b)*x+a)+1)^2), 
    sum(exp(b)*x*(e*exp(exp(b)*x+a)-d*exp(exp(b)*x+a)-d)/(exp(exp(b)*x+a)+1)^2) 
) 
} 

library(numDeriv) 
grad(function(u) KannistoLik1(c(a=u[1], b=u[2]), .Dx, .Exp), c(1,1)) 
f_gradient(c(a=1,b=1), .Dx, .Exp) # Identical 

如果您一味地把優化梯度， 有一個數字不穩定的問題：給出的解決方案是(Inf,Inf) ... 爲了防止它，你可以重新調整梯度 （更好的解決方法是使用比指數更少的爆炸轉換，以確保參數保持正）。

BFGSab <- optim(
    log(c(a = .1, b = .1)), 
    fn = KannistoLik1, 
    gr = function(...) f_gradient(...) * 1e-3, 
    method = "BFGS", 
    .Dx = .Dx, .Exp = .Exp 
) 
exp(BFGSab$par) # Less precise than Nelder-Mead