查找最大的函數是一個最大的功能

Question

我想解決以下問題：

X * = argmin F（MAX_ {J = 1，...，J} G_J（X ）），

其中f和g_j是已知的平滑的，凸的功能，並且x是一個標量。我也有分析梯度f和g_j。是否可以在MatLab中使用fminunc（使用牛頓法）或其他解算器來查找解決方案？顯然max_{j=1,...,J} g_j(x)是不可區分的（除非有k這樣g_k(x) >= g_j(x)對所有j），但它是可微分的。因此，我不能直接使用fminunc，因爲它要求目標函數的梯度。如果我可以使用fminunc，我將如何繼續？

作爲示例，考慮f(x) = x，J=1,2,g_1(x) = (x-1)^2, g_j(x) = (x+1)^2。然後max g_1, g_2是g_1和g_2的上部信封。最小值位於x=0。

注意：功能fminimax是接近我想要的。 fminimax解決

X * = argmin MAX_ {J = 1，...，J} G_J（X）。

Answer 1

我有一個可能的解決方案來解決我的問題。我們可以用平滑或最大的最大值代替最大功能，請參閱this article by John Cook。特別是，我們可以使用g(x,y;k) = log(exp(kx)+exp(ky))/y功能近似max(x,y)（k是一個調整參數）。目標函數是可微分的，因此可以應用牛頓法（即fminunc）。