詹森 - 佈雷格曼LogDet發散

Question

您好我只是想知道要寫說明如何實現詹森 - 佈雷格曼LogDet divegence一個MATLAB代碼的方式，我只是有問題，來實現它也是，如果有一個文件解釋他的數學，伊利諾伊州如此感謝

Answer 1

據我所知（兩個對稱正定矩陣）的功能是

JL(X,Y) = log(det((X+Y)/2)) - log(det(X*Y))/2 
     = log(det((X+Y)/2)) - (log(det(X)) + log(det(Y)))/2 

我想這樣做的方式是計算X，Y的喬列斯基factorisations和（X + Y）/ 2，即找到下三角矩陣L，M，N，以便

X = L*L' 
Y = M*M' 
(X+Y)/2 = N*N' 

（我很遺憾地說我不知道​​matlab，但必然會有一個計算cholesky因式分解的函數）。

，然後使用決定因素和日誌的特性，我們有

JL(X,Y) = 2*log(det(N)) - log(det(L)) - log(det(M))) 

對於下三角矩陣K，我們有

log(det(K)) = log (Prod(K[i,i], i=1..n)) 
       = Sum (log(K[i,i]), i=1..n)) 

我想這可能是最好使用第二種形式，即使它是速度較慢，因爲有可能是下溢的風險的產品，如果矩陣很大，也許做的最好的事情是計算

JL(X,Y) = Sum (2*log(N[i,i]) - log(L[i,i]) - log(M[i,i]), i=1..n) 
     = Sum(log(N[i,i]*N[i,i]/(L[i,i]*M[i,i])), i=1..n) 

注意，所有這一切都假定喬列斯基factorisations可以計算，即該矩陣X和Y是嚴格正定的，但隨後的功能JL在這種情況下，只有限定。