如何確定一個2x2矩陣在x軸上的縮放比y軸多嗎？

讓M是一個可逆2x2矩陣。讓C爲以（0,0）爲中心的半徑1的圓。令E爲橢圓M*C，其中半長軸s1和半短軸s2。（然後s1 >= s2。）我需要找到sx，水平範圍應用於C,M和sy，垂直範圍應用於C,M。如何確定一個2x2矩陣在x軸上的縮放比y軸多嗎？

我可以通過在M上執行奇異值分解來測量s1和s2。（我使用的算法是基於Pedro Gimeno對Robust algorithm for 2x2 SVD的回答，s1是更大的奇異值，而s2是更小的奇異值。）我知道<sx,sy>等於<s1,s2>或<s2,s1>，但我不知道哪一個;但是，如果我可以確定sx > sy（通過執行下面的scalesMoreInXAxis(mat2)函數），那麼我可以得出結論<sx,sy> = <s1,s2>（反之亦然，如果sx <= sy）。

這裏是我的GLSL代碼：

bool scalesMoreInXAxis(mat2 m){ 
    // TODO: implement 
    return false; 
} 

void main(){ 

    float a = M[0][0]; 
    float b = M[1][0]; 
    float c = M[0][1]; 
    float d = M[1][1]; 

    float e = (a + d)/2.0; 
    float f = (a - d)/2.0; 
    float g = (c + b)/2.0; 
    float h = (c - b)/2.0; 

    float q = sqrt(e*e + h*h); 
    float r = sqrt(f*f + g*g); 

    float s1 = q + r;  // Semi major axis 
    float s2 = abs(q - r); // Semi minor axis 

    vec2 s = scalesMoreInXAxis(M) ? vec2(s1,s2) : vec2 (s2,s1); 
}

來源

2017-07-01 William Heesen

你的's1'和's2'似乎是'M'的SVD分解的奇異值，'s1> s2'。因此，'s1'和's2'是'E'的長軸和短軸的長度（可以這麼說）。但是，我不明白你的'sx'和'sy'是什麼。謹慎解釋？ –

'sx'是'M'應用於'C'的水平刻度，'sy'是'M'應用於'C'的垂直刻度。我知道'sx'等於's1'或's2'，但我不知道哪一個;然而，如果我可以確定'sx> sy'，（通過實現scalesMoreInXAxis函數），那麼我可以得出結論：'sx = s1'和'sy = s2'。 –

對於任意矩陣來說，'sx'和'sy'的這種定義沒有什麼意義。假設「M」旋轉了90度，然後將「x」軸縮放了2倍。這相當於首先將「y」軸縮放2，然後旋轉90度。這些將是兩個不同但等價的「SVD」分解。如果你在'E'的主軸和副軸之後，那麼它們的方向是'U'的列，並且相應的比例因子是'M = U * S * V'中'S'的對角線元素。 –

你想實現什麼？我不明白你的意思是什麼半x軸。

然而，這裏是我的想法，你怎麼能計算出半軸系：

讓M = U * S * V（SVD分解）

V * C的溫度將是C，爲V僅僅是一個旋轉（旋轉一圈不會改變它）。

所以，我們留下了U * s。這種轉換是角度保存。 U * s將首先縮放該圓（因此它變成一個具有半軸s * [1 0]'和s * [0 1]'的橢圓），然後旋轉它。因此，最後的半軸是U * s的列，U * s * [1 0]'和U * s * [0 1]'。

注意：對於一般的矩陣，沒有這樣的問題：「它如何在水平方向上縮放」。所有人都可以說原始x軸（我的意思是轉換後原來的x軸有多久）發生了多少規模，這只是M * [1 0]'的長度，長度第一列。

來源

2017-07-01 18:27:00 geza

請參閱'sx'和'sy'的更新定義。關於你的答案，U也是一個旋轉矩陣，那它怎麼能包含我的橢圓的軸呢？ –

@WilliamHeesen：我已經編輯了我的答案，我希望現在很清楚 – geza

你是正確的'V * C = C'，但在我的情況下，我需要考慮頂點着色器中的'V'，因爲我的圓圈被表示由一個正方形。功能代碼可在我的[GitHub repo]（https://github.com/wjheesen/vector-art/blob/master/src/res/src/shader/ellipse.glslx）中找到。 –

如何確定一個2x2矩陣在x軸上的縮放比y軸多嗎？

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