餘弦相似度空間中的數字

Question

我想在某個範圍內表示實數，以便向量空間中的距離較近的數字在向量空間中也較近，可以使用餘弦距離來測量近距離。

例如，0-100,9和10之間的餘弦相似度應接近1，而9和100的餘弦相似度應接近-1。

如何才能實現這樣的映射？我正在考慮嘗試使用神經網絡編碼器，但有沒有其他方法可以實現這一點。

Answer 1

在2維向量空間的特殊情況下很容易做到。我將說明[0,100]的範圍，儘管將其推廣到其他區間會很容易。

將單位圓認爲是以原點爲中心的模擬時鐘。將x中的一個點[0,100]映射到第二隻手0.3x秒的位置。對於x = 0，秒針指向12，相應的矢量將是<0,1>。對於x = 50，秒針將指向3，而x將映射到<1,0>。對於x = 100，秒針將指向6並且x將映射到<0,-1>。

用於映射的公式爲：

f(x) = <sin(1.8*x),cos(1.8*x)> #measured in degrees 

這裏是一個Python實現，廣義來處理任意間隔：

from math import sin, cos, radians, sqrt 

def to_vector(x,a,b): 
    m = 180/(b-a) 
    theta = radians(m*(x-a)) 
    return (sin(theta),cos(theta)) 

def similarity(v1,v2): 
    dot = sum(x*y for x,y in zip(v1,v2)) 
    norm1 = sqrt(sum(x**2 for x in v1)) 
    norm2 = sqrt(sum(x**2 for x in v2)) 
    return dot/(norm1*norm2) 

例如，

>>> u = to_vector(9,0,100) 
>>> u 
(0.2789911060392293, 0.9602936856769431) 
>>> v = to_vector(10,0,100) 
>>> v 
(0.3090169943749474, 0.9510565162951535) 
>>> w = to_vector(100,0,100) 
>>> w 
(1.2246467991473532e-16, -1.0) 
>>> similarity(v,u) 
0.9995065603657316 
>>> similarity(v,w) 
-0.9510565162951536 

上編輯：這是一個更抽象的方法，可以用於構建任何維度的示例。

以任何連續的一對一映射開始g: [a,b] \rightarrow R^n（其中R^n是n維歐幾里德空間）。由於它是一對一的，g(a) != g(b)。假設m是連接g(a)和g(b)的線段的中點。因此m = (g(a) + g(b))/2。定義另一個功能如下：

f(x) = g(x) - m 

不難看出：

1. 如果x和y緊靠在一起，然後f(x)和f(y)之間的餘弦相似度接近1

2. 如果x接近a並且y接近bt如果f(x)和f(y)之間的餘弦相似性接近-1。

通過適當選擇g，你可以構造一些有趣的例子，例如，g可能是R^3中螺旋完整扭曲的參數化。