求解W（n）= W（n/2）+ n log n？

Question

請驗證我的邏輯，看看我正在嘗試的是有效還是陰涼。

W(n) = W(n/2) + nlg(n) 

W(1) = 1 

n =2^k 

通過嘗試模式

line 1 : W (2^k) = W(2^k-1) + nlgn 

line 2 :   = W(2^k-2) + nlgn + nlgn 

... 

line i :   = W(2^k-i) + i*nlgn 

，然後解決其餘爲我。

我只是想確保它很酷，如果我在一個地方替換了2 ^k（在第1行），而在n lg n替換了另一個地方。

我通過2^k for 2^k lg(2^k)中的subbing發現真的很油膩。

有什麼想法，歡迎（特別是如果我要在2^k爲底層，如果我要那麼你會如何建議的解決方案）

Answer 1

它的優良n和2 ^ķ之間來回切換因爲你假設n = 2 ^k。但是，這並不意味着你上面的內容是正確的。請記住，當n減小，正日誌n的值不斷下降，以及，因此它不是這樣，該陳述

線I = W（2 ^き）+ I * N LG的Ñ

是正確的。

讓我們使用迭代方法中的一個更多的時間：

W（N）= W（N/2）+ N日誌N

=（W（N/4）+（N/2）的log（n/2））+ N日誌N

= W（N/4）+（N/2）（對數N - 1）+ N日誌N

= W（N/4 ）+ n log n/2 - n/2 + n log n

= W（n/4）+（ 1 + 1/2）N日誌N - N/2

=（W（N/8）+（N/4）的log（n/4））+（1 + 1/2）N日誌N - n/2個

= W（N/8）+（N/4）（對數N - 2）+（1 + 1/2）N日誌N - N/2

= W（N/8）+ N日誌N/4 - N/2 +（1 + 1/2）日誌N - N/2

= W（N/8）+（1 + 1/2 1/4 +）N log（n/8））+（1 + 1/2 + 1/4）n log n -n

（n/16）

= W（n/16）+（n/8）（log n-3））+（1 + 1/2 + 1/4）n log n - n

= + N日誌N/8 - 3N/8 +（1 + 1/2 1/4 +）N日誌N - N的

= W（N/16）+（1 + 1/2 1/4 + + 1/8）n log n - n - 3/8n

我們可以看看這個，看看我們是否發現一個模式。首先，請注意，隨着我們向外擴展，n log n項的係數爲（1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...）。這個序列收斂到2，所以當迭代停止時，該項將在n log n和2n log n之間。接下來，看看-n項的係數。如果仔細觀察，會注意到，這個係數是-1倍

（1/2 + 2/4 + 3/8 +16分之4+ 5/32 + ...）

這是I/2 ^我總和，其收斂到2。因此，如果我們迭代這個過程中，我們將在每一步驟，該值是Θ找到（N log n）的 - Θ（n）的，因此整體的復發解決到Θ（N log n）的。

希望這會有所幫助！