cos（atan2（y，x））與使用複數的精度<double>，C++

Question

我正在寫一些座標變換（更具體地說是Joukoswky變換，Wikipedia Joukowsky Transform），我對性能感興趣，但當然精確。我試圖做的方法有兩種座標變換：

1）計算在不同的現實和複雜的零件，採用雙精度，如下：

double r2 = chi.x*chi.x + chi.y*chi.y; 

//double sq = pow(r2,-0.5*n) + pow(r2,0.5*n); //slow!!! 
double sq = sqrt(r2); //way faster! 
double co = cos(atan2(chi.y,chi.x)); 
double si = sin(atan2(chi.y,chi.x)); 

Z.x = 0.5*(co*sq + co/sq); 
Z.y = 0.5*si*sq; 

在Ch和Z是具有結構簡單雙x和y作爲成員。

2）使用複雜：

Z = 0.5 * (chi + (1.0/chi)); 

其中Z和志是複雜的。有趣的部分是確實情況1）更快（約20％），但精度很差，在逆變換之後的逗號之後的第三個十進制數字中出現錯誤，而複合體會返回確切的數字。 所以，問題在於cos（atan2），sin（atan2）？但是，如果是這樣，複合體如何處理？

編輯：只是發現這不完全是我心中的問題。我必須進行一般轉換，因爲上面的代碼是我想通過這種方式完成的。更確切地說，

double sq = pow(sqrt(r2),n); //way faster! 
double co = cos(n*atan2(chi.y,chi.x)); 
double si = sin(n*atan2(chi.y,chi.x)); 

Z.x = 0.5*(co*sq + co/sq); 
Z.y = 0.5*(si*sq - sq/si); 

也糾正Z.y.

Answer 1

我認爲，1）它應該是

Z.y = 0.5*(si*sq - si/sq); 

如果你想你可能想回到第一原則，遵守真正的好表現是

1/(a+ib) = (a-ib)/(a*a+b*b) 

沒有sqrt()，atan2()或cos()或sin()。

Answer 2

鑑於r = sqrt(x*x+y*y)：

cos(atan2(y,x)) == x/r 
sin(atan2(y,x)) == y/r 

計算這種方式應該是更準確和快速。

當您將這些值插入到Z.x和Z.y的公式中時，平方根也將相互抵消，因此您將只剩下基本的算術運算。