奇異值分解 - 社會網絡分析

Question

我有一個由鄰接矩陣表示的非常大的節點網絡。我想減少網絡中包含更重要節點的節點數量。我知道SVD可以幫助我實現這一點，並且我已經使用ILNumerics庫在鄰接矩陣上運行svd（）方法。

有人可以簡單地向我解釋輸出是如何幫助我減少網絡的尺寸嗎？ SVD過程給我留下了一個相同大小的矩陣，其下降值從對角線範圍從2到0。我如何知道刪除哪些尺寸被視爲不重要？

我很可能不正確地做這個過程，因此任何幫助將不勝感激！網上的許多解釋很快就會讓人感到非常困惑。

Answer 1

我對ILNumerics不太熟悉，所以我會試着解釋一下SVD在你的情況下能夠做什麼。首先，Wikipedia給出了SVD可能應用的一些基本信息。在你的情況下，關於「範圍，零空間和秩」和「低秩矩陣逼近」的部分特別感興趣。奇異值分解可以幫助您確定系統矩陣的排名。如果你的鄰接圖是稀疏的，那麼你的系統矩陣（比如一個N倍N矩陣）可能有一個小於N的秩M.在這種情況下，你可以計算它的低秩近似。也就是說，你構造了M倍M（M < N），忽略N - M個最小特徵值，因爲它們只對結果有很小的影響。在這種情況下，小的手段當然強烈地取決於你的應用。

編輯：在您的示例數據中，您的原始矩陣A已被分解爲A = outU svdOut outV。對角矩陣svdOut是A的特徵值奇異值的常數，而outU和outV的列/行分別是A的左奇異向量和右奇異向量。在你的例子中，奇異值是1.61803,1.41421,0.661803和0（兩次）。您的原始矩陣的排名因此由非零奇異值的數量（在您的示例中爲三個）給出。因此，您可以定義一個矩陣B = outU svdOut * outV，其中星號表示已刪除最不重要的奇異值。例如，你可以決定要忽略最小特徵值，從而

svdOut* = 
| 1.61803 0  0 0 0 | 
| 0  1.41421 0 0 0 | 
| 0  0  0 0 0 | 
| 0  0  0 0 0 | 
| 0  0  0 0 0 | 

然而，再考慮這件事後，我認爲你的鄰接矩陣的SVD不會直接給你，你找什麼對於。您必須以某種方式定義節點實際上在您的上下文中的內容。

Edit2（回覆下面的評論）：SVD不會給你關於你的節點的直接信息，而是關於你的矩陣。奇異向量形成一個正交基，它可以用來以不同的形式表達原始矩陣。奇異值爲您提供有關每個矢量的影響有多強的信息。再次，Wikipedia可能會幫助您瞭解如何解釋這一點。回到你原來的問題，我會假設一個簡單的SVD並不真正是你想要的。