說明在確定是否一個十進制數在基地

Question

當試圖找到我碰到這個傳來了回答，並想知道如果這是真的，爲什麼它是一個有限表示。

https://stackoverflow.com/a/489870/5712298

如果任何人都可以向我解釋或鏈接我到一個頁面解釋它，將是巨大的。

Answer 1

＃1的標記不支持數學符號很好，這個大多數讀者將是程序員，所以我將使用通用編程表達式語法：

* multiplication 
^ exponentiation 
/division 
x[i] Element i of an array x 
== equality 
PROD product 

這本書以是否給出問題的基數r終止分數a/(r^n)，有一個端接基數s分數b/(s^m)具有完全相同的值，a，b整數，r和s正整數，n和m非負intege RS。

a/(r^n)==b/(s^m)相當於b==a*(s^m)/(r^n)。 a/(r^n)正好等於一些基數s終止分數如果且僅當，存在一個正整數m使得a*(s^m)/(r^n)是一個整數。

考慮的r，PROD(p[i]^k[i])的主要因子。如果因爲某些i，p[i]^k[i]是在r的因式分解的一個術語，然後p[i]^(n*k[i])是在r^n的因式分解的術語。

a*(s^m)/(r^n)是一個整數，當且僅當，在r^n的因式分解每p[i]^(n*k[i])也是a*(s^m)

首先假設p[i]一個因素也是s一個因素。那麼對於足夠大的m,p[i]^(n*k[i])是因子s^m。

現在假設p[i]不是s一個因素。當且僅當它是因子a時，p[i]^(n*k[i])是因子a*(s^m)。

爲一個非負整數m使得b==a*(s^m)/(r^n)是一個整數的存在的必要且充分條件是，對於在r素因子分解每個p[i]^k[i]，無論p[i]是s或p[i]^(n*k[i])一個因子是因子的a。

將此應用於r=10和s=2的常見情況下，r的素因分解爲(2^1)*(5^1)。 2是因數2，所以我們可以忽略它。 5不是，所以我們需要5^n是因子a。

考慮某些特定情況下：

十進制0.1是1/10，5不是1因子，所以沒有確切二進制分數當量。

十進制0.625,625/(10^3)。 5^3是125，這是一個625的因子，所以有一個確切的二進制分數等價。 （它是二進制0.101）。

參考答案https://stackoverflow.com/a/489870/5712298中的方法相當於這個從小數到二進制。它需要一些工作來擴展到一般情況，以允許指數不爲1的素數因子。