我在想數值分析中的一個基本問題。由於二階方法的截斷誤差爲O（dx^2）和O（dx）爲（），因此當離散常微分方程時，衆所周知二階方法比一階方法更精確。一階方法。 0 < dx < 1.二階法比一階法差嗎？
如果dx> 1，該怎麼辦？例如，域爲0到10000，網格大小爲1000，則dx = 10。在這種情況下，由於dx^2 = 100且dx = 10，所以二階方法不像一階方法那樣精確。在處理大規模問題時，我們可以遇到這個問題，例如氣候模擬（雲的大小可能爲幾公里）。
二階方法並不比一階方法更準確，因爲對於dx的某個值，dx^2 < dx。這是關於小dx收斂漸近的速率的聲明。
此外，直接比較dx^2與dx沒有任何意義，因爲dx不是無量綱數量，而是長度。所以你試圖比較一個區域的長度，這是沒有意義的。
在big-O notation中，如果一個量收斂於O（dx^2），那麼這通常意味着誤差的形式爲e = a2 dx^2 + a3 dx^3 + ...引導係數a2是以X /米^ 2爲單位，其中X是您的錯誤所在的單位，也可能是您使用其他長度而不是米。類似地，對於一階解，誤差的形式爲b1 dx + b2 dx^2 + ...，其中b1的單位是X /米。
因此，如果您決定可以忽略非主要條款（您可能無法獲得較大的dx值），則比較不在dx^2和dx之間，它介於a2 dx^2和b1之間DX。這兩個誤差項之間顯然存在交叉，但它不是在dx = 1，而是在dx = b1/a2。如果你的離散化是粗糙的，那麼你可能不是處於可以忽略高階項的漸近狀態，並且你的解決方案可能無論如何都是非常不準確的。