如何使用Numpy計算導數？

Question

如何使用numpy計算函數的導數，例如

Y = X 2 ⁺¹

？

比方說，我想在x = 5的衍生價值...

Answer 1

您有四個選項

1. 您可以使用Finite Differences
2. 您可以使用Automatic Derivatives
3. 您可以使用Symbolic Differentiation
4. 您可以通過計算衍生品手。

有限差分無需外部工具，但容易出現數值誤差，如果你在一個多元的情況是，可能需要一段時間。

如果問題很簡單，符號區分是最理想的。現在符號方法變得相當強大。 SymPy是一個很好的與NumPy集成的項目。看看autowrap或lambdify函數或檢查出Jensen's blogpost about a similar question。

自動衍生產品非常酷，不容易出現數字錯誤，但確實需要一些額外的庫（谷歌爲此，有幾個很好的選擇）。這是最強大，但也是最複雜/難以設置的選擇。如果你很好地將自己限制爲numpy語法，那麼Theano可能是一個不錯的選擇。

下面是使用SymPy

In [1]: from sympy import * 
In [2]: import numpy as np 
In [3]: x = Symbol('x') 
In [4]: y = x**2 + 1 
In [5]: yprime = y.diff(x) 
In [6]: yprime 
Out[6]: 2⋅x 

In [7]: f = lambdify(x, yprime, 'numpy') 
In [8]: f(np.ones(5)) 
Out[8]: [ 2. 2. 2. 2. 2.] 

Answer 2

NumPy的不提供一般的功能來計算的衍生物。但它可以處理多項式的簡單的特例：

>>> p = numpy.poly1d([1, 0, 1]) 
>>> print p 
    2 
1 x + 1 
>>> q = p.deriv() 
>>> print q 
2 x 
>>> q(5) 
10 

如果要計算導數值，您可以使用中央差商對於絕大多數的應用脫身。在單個點處的導數，該公式將是類似

x = 5.0 
eps = numpy.sqrt(numpy.finfo(float).eps) * (1.0 + x) 
print (p(x + eps) - p(x - eps))/(2.0 * eps * x) 

，如果你有橫座標的陣列x與相應的數組函數值的y，可以COMPUT衍生物的近似值與

numpy.diff(y)/numpy.diff(x) 

Answer 3

取決於精度您可以根據需要解決它自己，用差異化的簡單證明級別：

>>> (((5 + 0.1) ** 2 + 1) - ((5) ** 2 + 1))/0.1 
10.09999999999998 
>>> (((5 + 0.01) ** 2 + 1) - ((5) ** 2 + 1))/0.01 
10.009999999999764 
>>> (((5 + 0.0000000001) ** 2 + 1) - ((5) ** 2 + 1))/0.0000000001 
10.00000082740371 

我們實際上不能採用漸變的限制，但它的樂趣。 你得小心，但因爲

>>> (((5+0.0000000000000001)**2+1)-((5)**2+1))/0.0000000000000001 
0.0 

Answer 4

我能想到的最直接的方法是使用numpy's gradient function一個例子：

x = numpy.linspace(0,10,1000) 
dx = x[1]-x[0] 
y = x**2 + 1 
dydx = numpy.gradient(y, dx) 

這樣，dydx將使用中央差來計算，並會與y的長度相同，不像numpy.diff，它使用前向差異並返回（n-1）大小的向量。

Answer 5

我會扔另一種方法對樁...

scipy.interpolate的很多樣條插值能夠提供衍生物。因此，使用線性樣條（k=1），樣條的導數（使用derivative()方法）應該等同於前向差。我並不完全確定，但我相信使用三次樣條函數導數將類似於中心差導數，因爲它使用來自前後的值來構造三次樣條函數。

from scipy.interpolate import InterpolatedUnivariateSpline 

# Get a function that evaluates the linear spline at any x 
f = InterpolatedUnivariateSpline(x, y, k=1) 

# Get a function that evaluates the derivative of the linear spline at any x 
dfdx = f.derivative() 

# Evaluate the derivative dydx at each x location... 
dydx = dfdx(x) 

Answer 6

假設你想使用numpy，您可以用數字用Rigorous definition計算在任何一點的函數的導數：

def d_fun(x): 
    h = 1e-5 #in theory h is an infinitesimal 
    return (fun(x+h)-fun(x))/h 

您還可以使用Symmetric derivative獲得更好的結果：

def d_fun(x): 
    h = 1e-5 
    return (fun(x+h)-fun(x-h))/(2*h) 

使用你的例子，完整的代碼應該是這樣的：

def fun(x): 
    return x**2 + 1 

def d_fun(x): 
    h = 1e-5 
    return (fun(x+h)-fun(x-h))/(2*h) 

現在，你可以數字在x=5找到衍生物：

In [1]: d_fun(5) 
Out[1]: 9.999999999621423