使用SciPy的的四常規集成與奇點的函數

Question

我使用從scipy.integrate v0.19.1所述quad函數在積分區間的每一端與像奇異平方根功能集成諸如例如

In [1]: quad(lambda x: 1/sqrt(1-x**2), -1, 1) 

（I使用來自numpy v1.12.0的sqrt功能），其立即產生正確的結果PI：

Out[1]: (3.141592653589591, 6.200897573194197e-10) 

按照的文檔0功能關鍵字points應該用來指示奇點或積的不連續性的位置，但如果我表示點[1, -1]當上述積是singluar我得到一個警告和nan的結果：

In [2]: quad(lambda x: 1/sqrt(1-x**2), -1, 1, points=[-1, 1]) 

RuntimeWarning: divide by zero encountered in double_scalars 
IntegrationWarning: Extremely bad integrand behavior occurs at some 
points of the integration interval. 

Out[2]: (nan, nan) 

燦有人澄清，爲什麼quad產生這些問題，如果被積函數的奇點被指定，並且運行正常，如果這些點沒有指出？

編輯： 我想我找出了這個問題的正確解決方案。對於情況下，別人也遇到了類似的問題我趕緊想分享我的發現：

我要形式f(x)*g(x)的功能，具有平穩的功能f(x)和g(x) = (x-a)**alpha * (b-x)**beta，其中a和b是整合限制和g(x)整合在這些限制處具有奇點，如果alpha, beta < 0，那麼你應該僅僅使用g(x)作爲加權函數整合f(x)。對於quad例程，可以使用weight和wvar參數。有了這些論點，你也可以處理不同種類的奇點和有問題的振盪行爲。上面定義的加權函數g(x)可以通過設置weight='alg'並使用wvar=(alpha, beta)來指定g(x)中的指數。

由於1/sqrt(1-x**2) = (x+1)**(-1/2) * (1-x)**(-1/2)我現在可以處理的積分如下：

In [1]: quad(lambda x: 1, -1, 1, weight='alg', wvar=(-1/2, -1/2)) 
Out[1]: (3.1415926535897927, 9.860180640534107e-14) 

其產生正確答案pi具有非常高的精度，不管我用的說法points=(-1, 1)或不（其中，就我現在明白了，只有在奇點/不連續點不能通過選擇適當的加權函數來處理時才應該使用）。

Answer 1

參數points意味着發生的奇點/不連續點在之內的積分區間。它不適用於該區間的端點。因此，在您的示例中，沒有points的版本是正確的方法。 （我無法確定在points中包含端點時沒有潛入SciPy包裝的FORTRAN代碼會出現什麼問題。）

比較用下面的例子，其中，發生整合的間隔內的奇點：

>>> quad(lambda x: 1/sqrt(abs(1-x**2)), -2, 2) 
(inf, inf) 
>>> quad(lambda x: 1/sqrt(abs(1-x**2)), -2, 2, points = [-1, 1]) 
(5.775508447436837, 7.264979728915932e-10) 

這裏points列入是適當的，併產生正確的結果，而無需points輸出是毫無價值的。