這個張量的正確解決方案

Question

我在this paper中實現了系統，我已經正確實現了徑向張量場的實現。

在這個系統中的所有張量是3頁上給出的形式，部分4

R [ cos(2t), sin(2t); sin(2t), -cos(2t) ] 

徑向張量場被定義爲：

R [ yy - xx, -2xy; -2xy, -(yy-xx) ] 

在我的系統我只存儲R和Theta，因爲我可以根據這些信息計算張量。這意味着我需要計算徑向張量的R和Theta。不幸的是，我在這方面的嘗試失敗了。雖然看起來是正確的，但我的解決方案在左上角和右下角象限中失敗。

附錄：繼評論中關於系統映像無法正常工作的討論後，我也會在這裏寫一些硬編碼。 整個張量場是800x480，中心點位於{400,240}，我們使用y軸爲負的標準圖形座標系（即左上角的原點）。

在{400，240}，該張量爲R = 0，T = 0 在{200，120}，該張量是R = 2.95936E + 9，T = 2.111216 在{600，120}，張量是R = 2.95936E + 9，T = 1.03037679

我可以輕鬆地採樣任何更多的點，你認爲可能有所幫助。

我使用計算值的代碼是：

float x = i - center.X; 
float xSqr = x * x; 
float y = j - center.Y; 
float ySqr = y * y; 

float r = (float)Math.Pow(xSqr + ySqr, 2); 
float theta = (float)Math.Atan2((-2 * x * y), (ySqr - xSqr))/2; 
if (theta < 0) 
    theta += MathHelper.Pi; 

Answer 1

顯然您比較式（1）和（2）的紙張。注意標量倍數l = || （u_x，u_y）||在公式（1）中，並且在R中早期識別那個。這個因素在公式（2）中是隱含的，所以爲了使它們匹配，我們必須將R排除。

x = xp - x0 
y = yp - y0 

，以形成給定的2×2矩陣：

y^2 - x^2  -2xy 

    -2xy  -(y^2 - x^2) 

我們需要分解出一個

式（2）與來自「中心」的徑向地圖的(x0,y0)偏移工作從這個矩陣的標量R鍵得到一個無痕跡正交2×2矩陣如式（1）：

cos(2t)  sin(2t) 

sin(2t)  -cos(2t) 

由於cos^2(2t) + sin^2(2t) = 1的因子R可被標識爲：

R = (y^2 - x^2)^2 + (-2xy)^2 = (x^2 + y^2)^2 

留下無痕跡正交2×2矩陣：

C   S 

    S   -C 

從該角度「黃褐色（2T）= S/C`可以通過提取反三角函數。

好吧，差不多。隨着belisarius警告，我們需要檢查角度t是否在正確的象限。該論文的作者在第二部分的開頭寫道。4根據公式R [ cos(2t), sin(2t); sin(2t) -cos(2t) ]，它們的「t」（它是指張量）取決於R >= 0和theta（你的t）位於[0,2pi）。

由於正弦和餘弦的週期爲2pi，t（θ）只能在長度爲pi的區間內唯一確定。我懷疑作者的意圖是要麼寫2t在[0,2pi]或更多，只要它位於[0，pi]。 belisarius建議使用「atan2等效」將避免任何零分。我們可能（如果函數返回一個負值）需要添加pi使t >= 0。這相當於將2π加到2t，所以它不會影響無痕正交矩陣中條目的符號（因爲在公式（1）和（2）中符號的模式應該是一致的）。