Julia中的有理矩陣分割

Question

在Julia中，兩個有理值矩陣的矩陣分割返回一個浮點矩陣。我怎樣才能得到一個有理數的矩陣呢？

我不能只使用convert(Array{Rational}, A \ b)，因爲與浮點數相關的精度損失。

Answer 1

你必須實現一個樞軸QR factorization算法的有理矩陣，這是一個非常平凡的任務，雖然當然不是不可能的。 Julia使用LAPACK DGEQP3 function爲64位浮點矩陣執行此操作。即使你設法得到一個合理的QR分解工作，它也不會像LAPACK算法那麼快。所以我想我會問你需要什麼精確的有理矩陣分割。

另外：你可能會發現在julia-users list上問這樣的問題更有成效，因爲你可以談論它 - 這不是真正的「問題和回答」類型的問題。

更新：現在這「只是工作」，因爲通用擺動QR現在存在於朱莉婭：

julia> A = [rand(1:10)//rand(1:10) for i=1:4, j=1:4] 
4x4 Array{Rational{Int64},2}: 
5//3 1//2 10//1 8//9 
1//1 3//2 6//7 2//3 
4//1 8//9 6//7 10//3 
7//2 5//2 1//2 5//1 

julia> b = collect(1:4) 
4-element Array{Int64,1}: 
1 
2 
3 
4 

julia> c = A\b 
4-element Array{Rational{Int64},1}: 
    42055//62497 
    61344//62497 
    -2954//62497 
-19635//124994 

julia> A*c 
4-element Array{Rational{Int64},1}: 
1//1 
2//1 
3//1 
4//1 

但請注意，這Rational{Int}是相當容易溢出，所以你可能需要使用Rational{Int128}或Rational{BigInt}以避免溢出。這種算法是完全通用的，適用於更特殊的數字類型以及：

julia> using Quaternions # install with Pkg.add("Quaternions") 

julia> A = [Quaternion(rand(1:10), rand(1:10), rand(1:10), rand(1:10)) for i=1:4, j=1:4] 
4x4 Array{Quaternions.Quaternion{Int64},2}: 
    4 + 3im + 5jm + 8km 9 + 7im + 10jm + 3km 9 + 3im + 1jm + 7km 8 + 4im + 8jm + 5km 
    1 + 4im + 2jm + 1km 5 + 4im + 1jm + 4km 1 + 5im + 8jm + 2km 7 + 2im + 5jm + 3km 
10 + 1im + 4jm + 4km 2 + 4im + 9jm + 2km 2 + 10im + 4jm + 10km 2 + 3im + 4jm + 8km 
    7 + 4im + 3jm + 7km 8 + 3im + 5jm + 9km 6 + 5im + 1jm + 3km 10 + 10im + 3jm + 1km 

julia> b = collect(1:4) 
4-element Array{Int64,1}: 
1 
2 
3 
4 

julia> c = A\b 
4-element Array{Quaternions.Quaternion{Float64},1}: 
    0.18112 + 0.019288355350921868im - 0.002638049486498678jm + 0.11047233503816825km 
0.000578119 + 0.08073035854610844im - 0.023278758601757744jm - 0.16761078955242836km 
    -0.0501257 - 0.02428891715971441im - 0.11059096793480247jm - 0.059017235311989824km 
    0.0394953 - 0.16771397199827004im - 0.019823106776170954jm + 0.05251791790026253km 

julia> A*c 
4-element Array{Quaternions.Quaternion{Float64},1}: 
            1.0 + 1.1102230246251565e-16im + 0.0jm + 0.0km 
            2.0 + 2.220446049250313e-16im + 0.0jm + 0.0km 
3.0 + 4.440892098500626e-16im - 2.220446049250313e-16jm + 8.881784197001252e-16km 
4.0 + 2.220446049250313e-16im - 2.220446049250313e-16jm + 6.661338147750939e-16km 

julia> norm(b - A*c) 
1.680072297996111e-15 

需要注意的是四元數乘法是不可交換的，這使得這相當有趣。