找到在Mathematica中通過積分定義的函數的最小值

我需要找到[0,1]上的函數f（t）= int g（t，x）dx的最小值。我在做數學是如下：找到在Mathematica中通過積分定義的函數的最小值

f[t_] = NIntegrate[g[t,x],{x,-1,1}] 
FindMinimum[f[t],{t,t0}]

但是數學暫停在第一次嘗試，因爲NIntegrate不與象徵性的科技工作。它需要一個具體的價值來評估。雖然Plot [f [t]，{t，0,1}]可以持續運行，但FindMinimum會在初始點停止。

我不能整合代替NIntegrate，因爲函數g是有點複雜，如果你鍵入整合，只是數學繼續運行......

任何辦法來解決呢？謝謝！

來源

2010-08-13 mr.gondolier

請參見[this]（http://stackoverflow.com/questions/6990285/mathematica-evaluation-order-during-numerical-optimisation-of-black-box-function/7020539#7020539）答案指針文檔頁面，解釋這種行爲。 – 2011-08-17 08:53:03

試試這個：

In[58]:= g[t_, x_] := t^3 - t + x^2 

In[59]:= f[t_?NumericQ] := NIntegrate[g[t, x], {x, -1, 1}] 

In[60]:= FindMinimum[f[t], {t, 1}] 

Out[60]= {-0.103134, {t -> 0.57735}} 

In[61]:= Plot[f[t], {t, 0, 1}]

兩個我對代碼進行相關的修改：

將f與:=而不是用=。當f的用戶提供了參數的值時，這有效地給出了「稍後」的定義。請參閱SetDelayed。
用t_?NumericQ而不是t_定義f。這就是說，t可以是任何數字（Pi，7，0等）。但不是任何非數字（t，x，「foo」等）。

來源

2010-08-13 08:14:12

分析一盎司...

你可以得到一個確切的答案，完全避免了數值積分的重任，只要Mathematica可以做克符號積分[T， x] wrt x然後符號分化wrt噸。具有更復雜克以下簡單的例子[T，X]，包括多項式的產品在x和T：

g[t_, x_] := t^2 + (7*t*x - (x^3)/13)^2; 
xMax = 1; xMin = -1; f[t_?NumericQ] := NIntegrate[g[t, x], {x, xMin, xMax}]; 
tMin = 0; tMax = 1;Plot[f[t], {t, tMin, tMax}]; 
tNumericAtMin = t /. FindMinimum[f[t], {t, tMax}][[2]]; 
dig[t_, x_] := D[Integrate[g[t, x], x], t]; 
Print["Differentiated integral is ", dig[t, x]]; 
digAtXMax = dig[t, x] /. x -> xMax; digAtXMin = dig[t, x] /. x -> xMin; 
tSymbolicAtMin = Resolve[digAtXMax - digAtXMin == 0 && tMin ≤ t ≤ tMax, {t}]; 
Print["Exact: ", tSymbolicAtMin[[2]]]; 
Print["Numeric: ", tNumericAtMin]; 
Print["Difference: ", tSymbolicAtMin [[2]] - tNumericAtMin // N];

其結果：

⁃Graphics⁃ 
Differentiated integral is 2 t x + 98 t x^3/3 - 14 x^5/65 
Exact: 21/3380 
Numeric: 0.00621302 
Difference: -3.01143 x 10^-9

來源

2010-08-13 10:50:14 user419441

-1

函數的最低可僅在零它的衍生點，所以爲什麼要整合在第一位？

您可以使用FindRoot或Solve找到g
根然後你可以驗證點真的是局部極小通過檢查g衍生物（它應該是在這一點正）。
然後你可以NIntegrate找到最小值f - 只有一個數值積分！

來源

2010-08-25 13:24:35 phadej

-1，@phadej，我對此評論道歉，但我只是碰到了這個。不幸的是，你的數學不正確，因爲'g [x，t] == 0'很可能不會出現在f [t] == 0的地方。一個簡單的計數器例子是Sin [x + t]，繪製ContourPlot [Evaluate [{＃== 0，D [Integrate [＃，{x，0，1}]，t] == 0}]， {x，0,1}，{t，-5,5}]＆@sin [x + t]'表示{x，t}空間中存在'g [t，x]！= D [整合並[g [T，X]，T]'。所以，雖然它可能在特殊情況下工作，例如'g [x，t] == T [t] X [x]'或'g [x，t] == T [t] + X [x]'，但它不能被普遍應用。 – rcollyer 2010-11-10 15:30:46

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