擬合反拋物線。不能達到最小二乘法解析表達式

Question

我試圖用F（x）= 1 /（ax^2 + bx + c）的形式來擬合一些逆拋物線。

我的目標是在C++中編寫一個函數，該函數需要一組10-30個點，並將它們擬合到反演拋物線。

我開始嘗試使用最小二乘法獲得解析表達式，但無法獲得結果。我嘗試了手工（有點瘋狂），然後我試着解析a，b和c的表達式，但是mupad並沒有給我一個結果（我對Matlab的mupad很新穎，所以也許我沒有做到這一點） 。 我不知道如何解決這個問題。

我可以得到這個特定問題的解析表達式嗎？我也看到了一般最小二乘擬合的算法，但我不需要一個如此複雜的算法，我只需要它用於這個等式。 如果不是，StackOverflow人員將如何解決問題？

如果需要，我可以發佈公式和我嘗試過的小型Mupad代碼，但我認爲是不必要的。

編輯：一些例子

對不起形象是有點混亂，但它是我需要的東西。 數據呈藍色（此數據特別嘈雜）。我只需要使用垂直線之間的數據（左邊的一堆數據和右邊的一堆數據）。

適合的結果是在紅線。

所有這些都是用matlab編寫的，但我需要用C++編寫。

我會嘗試發佈的一些數據...

編輯2：我居然做了件在Matlab如下（不實際的代碼）：

create linear system Ax = b, with 
A = [x² x 1] 
x = [a; b; c] 
b = 1/y; 

它應該工作，不是嗎？我可以用SVD計算Moore-Penrose pseudoinv求解。不是嗎？

Answer 1

沒有最小二乘法的解析解;這是一個最小化問題，需要聰明的迭代方法來解決。 （非線性LS - 謝謝@insilico）

你可以試試牛頓風格的迭代方法（通過重新排列方程），但我不認爲它會很容易地收斂你的函數 - 這將在兩個高度非線性分！

我建議使用這個庫。如內爾德 - 米德搜索

http://www.codecogs.com/code/maths/optimization/nelder.php

您只需提供您的錯誤功能 - 這是

sum(pow(F(x) - dataY(x), 2)) 

，並提供一組初始值（在該解決方案在黑暗中刺）; 我用nelder-mead取得了很好的成功。

我不認爲你會找到一個很好的純編碼的解決方案。

Answer 2

如果我理解正確的話，你只需要知道一個擬合公式爲特定的數據集，對不對？

如果是這樣，那麼你只需要得到一個曲線擬合程序，並使用所需的方法擬合曲線。然後，執行曲線擬合顯示的公式。

有幾個曲線擬合計劃在那裏：

曲線專家

http://www.curveexpert.net/

* Eurequa *

http://creativemachines.cornell.edu/eureqa

此外，索姆電子表格軟件包可能會有您需要的曲線擬合設施。

我會很樂意嘗試做一個適合你，如果你提供的數據。沒有保證讓你想要的合適。