計算機精度：我應該什麼時候擔心它？

在C++編程中，我什麼時候需要擔心精度問題？舉一個小例子（它可能不是雖然是完美的一個），計算機精度：我應該什麼時候擔心它？

std::vector<double> first (50000, 0.0); 
std::vector<double> second (first);

難道是可能的，second[619] = 0.000000000000000000000000000（我的意思是一個很小的值）。或者SUM = second[0]+second[1]+...+second[49999] => 1e-31？或SUM = second[0]-second[1]-...-second[49999] => -7.987654321e-12？

我的問題：

難道是一些小的干擾與double型數字打交道？
什麼可能導致這些小干擾？即舍入誤差變大？你能列出他們嗎？如何採取預防措施？
如果在某些操作中可能會有小的干擾，那麼是否意味着在這些操作之後，使用if (SUM == 0)是危險？那麼應該總是使用if (SUM < SMALL)來替代，其中SMALL被定義爲非常小的值，例如1E-30？
最後，小干擾可能導致負值嗎？因爲如果可能的話，我應該更好地使用if (abs(SUM) < SMALL)來代替。

任何經驗？

來源

2013-05-02 Daniel

這是浮點精度很好的參考文獻：What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic

一個比較重要的部分是災難性的取消時操作數都受到舍入誤差發生

災難性取消。例如在二次公式中，出現表達式 b2-4ac。數量b2和4ac由於是浮點乘法的結果而受到四捨五入的錯誤的影響。假設它們四捨五入到最接近的浮點數，所以精確到0.5 ulp以內。當它們被扣除時，取消可能導致許多準確的數字消失，主要留下由舍入誤差污染的數字。因此，差異可能會有許多ulps的錯誤。例如，考慮b = 3.34，a = 1.22和c = 2.28。 b2 - 4ac的確切值是.0292。但b2輪到11.2和4ac輪到11.1，因此最終答案是.1這是一個70 ulps的錯誤，儘管11.2 - 11.1正好是等於.16。減法沒有引入任何錯誤，而是暴露了早期乘法中引入的錯誤。

當減去確切的已知量時，會發生良性取消。如果x和y沒有舍入誤差，那麼通過定理2，如果用保衛位數完成相減，則差異x-y具有非常小的相對誤差（小於2）。

顯示災難性取消的公式有時可以重新排列以消除該問題。再次考慮二次式

來源

2013-05-02 18:45:09

對於

您的具體實例中，0具有一個精確的表示爲雙，和精確地將0加至雙不改變其值。

此外，和其他任何你放入變量的值一樣，你在數組中初始化的數字也不會神祕地改變。當計算結果不能精確地表示爲浮點數時，您只能取整。

爲了給出關於「干擾」的更好的意見，我需要知道你的代碼執行的計算種類。

來源

2013-05-02 19:13:01 NovaDenizen

計算機精度：我應該什麼時候擔心它？

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