線 - 在3D世界中的圓形交叉點測試？

Question

我有一個3d世界，我有幾個2d的圓形面向天空鋪設在地上。

如何檢查一條線是否會與其中一個圓圈相交？

我試圖尋找，但我得到的是這種相交測試的： http://mathworld.wolfram.com/Circle-LineIntersection.html

，但它不是我所需要的，這裏是像我的意思： http://imageshack.us/m/192/8343/linecircleintersect.png

Answer 1

如果你是在一個座標系，其中地面由z = c給定，對於某個常數，則可以簡單地計算z = c的線的x，y座標。現在對於原點圓圈x0，y0和半徑R，您只需檢查是否

（x-x0）^ 2 +（y-y0）^ 2 < = R^2。

如果這是真的，則該線與圓相交。

Answer 2

在3D意義上，你首先關心的不是一個圓，而是關於圓所在的平面。然後你可以找到射線（線）和平面（盤）之間的交點。

我喜歡用點，平面和線的齊次座標，我希望你熟悉矢量點·和交叉產品×。這裏是方法：

平面（圓盤）由點向量r=[rx,ry,rz]和法線方向向量n=[nx,ny,nz]定義。他們一起組成一架飛機W=[W1,W2]=[n,-r·n]。

線（射線）由兩個點向量r_A=[rAx,rAy,rAz]和r_B=[rBx,rBy,rBz]定義。它們一起形成L=[L1,L2]=[r_B-r_A, r_A×r_B]

交點被定義P=[P1,P2]=[L1×W1-W2*L2, -L2·W1]或膨脹出作爲

P=[ (r_B-r_A)×n-(r·n)*(r_A×r_B), -(r_A×r_B)·n ] 

該點的座標被發現r_P = P1/P2其中P1具有三個元件和P2是標量的線。

一旦你有了座標，你可以通過d=sqrt((r_p-r)·(r_p-r))檢查與圓心的距離並檢查d<=R其中R是圓的半徑。注意：標量乘*和積之間的符號的差異·

如果你肯定知道圓趴在地上（r=[0,0,0]）和麪向上（n=[0,0,1]），那麼你可以做出很多簡化到的高於一般情況。

[參考：Plucker Coordinates]

更新：

當使用地面（具有+ Z向上）作爲平面（其中圓圈躺下），然後使用r=[rx,ry,0]和n=[0,0,1]和上述交點簡化爲

r_p = [ rBy-rAy, rAx-rBx, 0]/(rAy*rBx-rAx*rBy) 

其中您可以檢查到圓心的距離。