最接近3D中一組四條線的點

Question

給出3D中四條線（表示爲幾個點），我想要找到空間中的點，使點和每條線之間的距離之和最小。

我試圖找到一種方法來將此作爲一個最小二乘問題來制定，但我不太確定我應該如何。我目前正在嘗試使用距離定義：http://mathworld.wolfram.com/Point-LineDistance3-Dimensional.html

任何想法？

Answer 1

我在Mathematica中製作了一個計算點座標的程序。 結果是一個大的代數公式。我把它上傳到ideone給你。

這裏是程序，如果你手頭有數學：

(*Load package*) 
Needs["VectorAnalysis`"] 
(*Define four lines, by specifying 2 points in each one*) 
Table[p[i, j] = {x[i, j], y[i, j], z[i, j]}, {i, 4}, {j, 2}]; 

(*Define the target point*) 
p0 = {x0, y0, z0}; 

(*Define a Norm function // using Std norm squared here*) 
norm[a_] := a[[1]]^2 + a[[2]]^2 + a[[3]]^2 

(*Define a function for the distance from line i to point v 
used http://mathworld.wolfram.com/Point-LineDistance3-Dimensional.html (11) *) 
d[i_, v_] := norm[Cross[(v - p[i, 1]), (v - p[i, 2])]]/norm[p[i, 2] - p[i, 1]] 

(*Define a function for the sum of distances*) 
dt[p_] := Sum[d[i, p], {i, 4}] 

(*Now take the gradient, and Solve for Gradient == 0*) 
s = Solve[Grad[dt[p0], Cartesian[x0, y0, z0]] == 0, {x0, y0, z0}] 

(* Result tooooo long. Here you have it for downloading 
http://ideone.com/XwbJu *) 

RESULT