關於驗證內核

Question

我在幾天內進行了一次測試，並且對於一些主題有幾個問題。

讓我們從內核開始，基本上我明白內核需要是正半定和對稱的纔能有效。夠了嗎？例如，對於某個有效內核k1，下面的內核，kernel（x，y）= 2 * k1（x，y）。這有效嗎？我的問題是，如果我在測試中獲得內核，如何區分有效的內核和無效的內核？

Answer 1

申請有Mercer的定理三個要求：

1. K是連續
2. K是對稱
3. K是半正定

如果你有這三個屬性，你有一個有效的內核。

例如，對於某個有效內核k1，以下內核，kernel（x，y）= 2 * k1（x，y）。這有效嗎？

是的，很容易顯示，給予適當的內核K1，K2：

1. AK1，對於任何一個> 0
2. K1 + K2

是有效的內核，因此你也可以得到任何a，b> 0 aK1 + bK2是一個有效的內核。

我的問題是我如何區分有效的內核和非有效的內核，如果我在測試中給予內核？

沒有魔法。這個問題對於泛型函數來說確實很難。因此，在測試中，我會期望無論是容易僞造的非內核（不具有典型點積的性質），還是有效的內核，通過Mercer定理或通過構造都可以證明這些內核是有效的。

尤其證明什麼的另一種方式是一個核心是通過定義每個內核K明確地發現PHI，由於存在披使得

K(x,y) = <phi(x), phi(y)> 

所以如果你能找到一個具有這種性質披 - 你證明K是一個核心。

例如 - 讓K爲圖形內核，定義爲K(G1, G2) = amount of vertices shared by G1 and G2。很容易證明，如果我們採取phi(G) = one hot encoding of the vertices in G，那麼

K(G1,G2) = <phi(G1), phi(G2)>