二進制到十進制轉換 - 公式解釋

Question

任何人都可以解釋我如何看到爲什麼數字在二進制形式：111是2^3 - 1？ 我知道這個數是按1 * 2^0 + 1 * 2^1 + 1 * 2^2來計算的，但是我看不到如何從這裏到達2^3-1 ......看不見任何權力規則或東西..

Answer 1

這是數2的一個獨特的特性，它是以前的功率之和等於1。

換句話說減去下一功率電平：

（1,2,3 ...）

2^n = 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2 ^（n-1）+1對於n中的（1,2,3 ...）

如果你需要證明，使用數學ical感應。

基數：n=1; 2^1=2=2^0+1=1+1

假設爲n=k財產2^n=2^0+2^1+...+2^(n-1)+1滿足

對於n = k + 1你2^n=(2^k)*(2^1)然後應用假設你已經

2^n=(2^0+2^1+...+2^(n-2)+1)*2這將產生

2^n=(2^1+2^2+...+2^(n-1)+2)=1+2^0+2^1+...+2^(n-1)其中認爲我們的證明。

Answer 2

將1加到111：結果是1000。

它遵循，因此，認爲：

 
111 + 1 = 1000 → 1000 - 1 = 111 

現在，1000爲23，因此：

 
23 - 1 = 111 

當然，你可以說關於二進制數類似的東西與任何數1s

Answer 3

想想這樣，111是1小於1000（二進制8）。

Answer 4

0000是0，0001是1，0010是2。取決於二進制數字右邊的位的位置，該位等於2^(p - 1)，其中p是該位置。

例如00101是右邊的第二位。 2^(2 - 1) = 2^1 = 2。

111是2^3 - 1因爲1000是2^3和111小於一個單元比1000，因此是2^3 - 1。

順便說一句，在python中，您可以使用0b作爲二進制值的標記。

x = 0b111 
y = 2 ** 3 - 1 
print(x == y) 
>> True 

而且int()功能可以用於二進制串

轉換

x = int("111", 2) # Base 2 
y = 7 
print(x == y) 
>> True 

Answer 5

對於底座B的通式如下：

（B^N + ... + B^1 + B^0）*（B-1）=

（B ^（N + 1）+ ... + B^2 + B^1） - （B^N + ... + B^1 + B^0）=

乙^（N + 1） - B^0 = B ^（N + 1）-1

實例：

1. B = 2和N = 3給出2^4 - 1 = 1111二進制
2. B = 10和N = 3給出10^3 - 1 = 999小數