NumPy的：多重外積

Question

一般問題

假設我有形狀(nrow,ncols,3)的ndarrayv。我想計算形狀爲(nrow,ncols,3,3)的ndarray outer_array，其中包含形狀爲(3)的載體的所有外部產物，其索引爲(nrow,ncol)。當然，這是numpy.einsum存在的那種問題。 現在，我已經試過是：

outer_array = numpy.einsum("xyi,xyj->xyij",v,v.conjugate()) 

現在，我不知道，這將工作：儘管outer_array具有預期的形狀，外產品矩陣的元素不對應到我所期待的。

我認爲這是由於在einsum表達標籤的選擇：產品應該在x和y來概括，因爲指數的反覆，但因爲我重用他們在輸出表達式，結果的總和是以某種方式廣播。

在另一方面，如果我寫：

outer_array = numpy.einsum("xyi,uvj->...ij",v,v.conjugate()) 

numpy的將計算外積的所有可能組合的每對(x,y)和(u,v)，導致形狀(ncols,nrow,ncols,nrow,3,3)的陣列，其中該對角線(u,v) = (x,y)將包含所需的輸出。

的確切的問題

如何選擇在einsum符號前兩個指標，以獲得一個數組，其中每個索引x,y在我與自身載體v的外積而不必訴諸到第二個表達式？

編輯 顯然，這種形式似乎太工作：

outer_array = numpy.einsum("...i,...j->...ij",v,v.conjugate()) 

我只能佩服numpy的廣播是多麼有用！

Answer 1

'xyi,xyj->xyij'工作的關鍵是在輸出字符串中重複了xy。

讓我們用一個簡單的數組：

x = np.arange(6).reshape(3,2) 
np.einsum.einsum('ij->j',x) 
# array([6, 9]) # sums on the 1st dimension of `x` 

現在對於外產品。這x：

In [20]: x[:,:,None]*x[:,None,:] # shape (3,2,2) 
Out[20]: 
array([[[ 0, 0], 
     [ 0, 1]], 

     [[ 4, 6], 
     [ 6, 9]], 

     [[16, 20], 
     [20, 25]]]) 

這是numpy的廣播（即添加尺寸和擴大它們）

爲例

在"...i,...j->...ij",...作爲一個現有的，但匿名維度的佔位符運作更多。

等效與einsum是：

np.einsum('ij,ik->ijk',x,x) 

（我要真正做到這一點並不在過去的2名維對稱計算）。

我已經制定了一個純Python工作相似的einsum。重點在於解析參數字符串，以及它如何爲iter對象創建輸入。它在github上提供：https://github.com/hpaulj/numpy-einsum/blob/master/einsum_py.py歡迎您隨時隨地玩。它有一個debug標誌來顯示中間步驟。

用我einsum與調試輸出：

In [23]: einsum_py.myeinsum('ij,ik->ijk',x,x,debug=True) 
# ... some parsing information 
[('ij', [105, 106], 'NONE'), ('ik', [105, 107], 'NONE')] 
('ijk', [105, 106, 107], 'NONE') 
iter labels: [105, 106, 107],'ijk' 

op_axes [[0, 1, -1], [0, -1, 1], [0, 1, 2]] 

op_axes是在創建iter使用的密鑰參數，該對象在輸入和輸出端陣列的軸線迭代。它遍歷所有數組的第一個軸。 1st操作和輸出的第2軸爲1，第2操作的第2軸爲newaxis（-1）。

隨着ellipsis：

In [24]: einsum_py.myeinsum('...j,...k->...jk',x,x,debug=True) 
... 
iter labels: [0, 106, 107],'0jk' 
op_axes [[0, 1, -1], [0, -1, 1], [0, 1, 2]] 

這產生相同的op_axes，因此相同的計算。