阻尼波的計算fft

Question

我有一個時間序列，它是阻尼波的線性組合。數據是真實的。

Y（T）= SUM_w EXP（ - γt）的SIN（ω-t）的

沒有解析形式，但，這是一個接近的猜測。我想對這些數據進行傅立葉分析（FFT）並獲得實際的頻率和阻尼率。

我正在使用matlab，但任何工具都可以很好 謝謝！

Answer 1

您的問題將更適合http://math.stackexchange.com，其中LaTeX渲染可用於公式。相反，你必須使用例如這個書籤正確顯示：

javascript:(function(){function%20a(a){var%20b=a.createElement('script'),c;b.src='https://c328740.ssl.cf1.rackcdn.com/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML.js',b.type='text/javascript',c='MathJax.Hub.Config({tex2jax:{inlineMath:[[\'$\',\'$\']],displayMath:[[\'\\\\[\',\'\\\\]\']],processEscapes:true}});MathJax.Hub.Startup.onload();',window.opera?b.innerHTML=c:b.text=c,a.getElementsByTagName('head')[0].appendChild(b)}function%20b(b){b.MathJax===undefined?a(b.document):b.MathJax.Hub.Queue(new%20b.Array('Typeset',b.MathJax.Hub))}var%20c=document.getElementsByTagName('iframe'),d,e;b(window);for(d=0;d<c.length;d++)e=c[d].contentWindow||c[d].contentDocument,e.document||(e=e.parentNode),b(e)})() 

首先，我認爲你的函數是更精確的那種
$ \和\ limits_k E 1的{ - \ gamma_k T】\罪（\ omega_k T）$對於$ t> 0 $和$ 0 $爲$ t < 0 $（否則該函數將傾向於$ t \至\ infty $的無窮大）。由於阻尼函數不是週期性的，因此不能使用傅里葉分析，但必須使用Fourier transform，這會產生一個振幅，而不是離散頻率，而是產生連續的頻率。使用複數表達式$ \ sin（x）= \ frac {e^{ix} -e^{ - ix}} {2i} $，總和中的每一項可以單獨進行傅里葉變換，產生

$ \ frac1 {2 \ pi} \ int_0^\ infty e^{ - \ gamma_k t} \ sin（\ omega_k t）e^{ - i \ omega t} \，dt = \ frac {\ omega_k} {2 \ pi [ （\ gamma^2 \ omega^2 + \ omega_k^2）+ 2i（\ gamma + i \ omega）^ 2 + \ omega_k^2}} = \ frac {\ omega_k} {2 \ pi} \ frac { \ gamma \ omega \ omega_k} {[\ gamma^2- \ omega^2 + \ omega_k^2]^2 + 4 \ gamma^2 \ omega^2} $

既然你說阻尼正弦只是一個猜測，你必須以某種方式離散這個無限積分，儘管由於在某個足夠大的時間阻尼截止值應該是有序的。 如果阻尼$ \ gamma_k $實際上對於所有加數都是相同的，那麼您的生活變得更加容易：將數據乘以$ e^{+ \ gamma t} $以獲得您現在可以真正進行FFT的週期性信號。

Answer 2

首先數字化的功能：

t=0:dt:T; % define sampling interval dt and duration T according to your needs 
Y=sum(exp(-gamma*t).*sin(omega*t)); 

然後做FFT和情節：

Y_f=fft(Y); 
plot(abs(Y_f));