爲什麼我們按照我們的方式來增加矩陣？

Question

爲什麼我們通過將第一行與第二列相乘來完成此操作。它的實際用途和發明者是什麼？邏輯上4×2意味着四次兩次或兩次四次。那麼爲什麼矩陣乘法只是相應元素的點積？

這是困擾我的事情之一。

Answer 1

對於數字，2x4 = 4x2，因爲它們是可交換的。矩陣不通勤，所以下層數字的交換性與它無關。

這個想法是，一個向量（我將指一個垂直寫入的列向量）是一個向量空間中的實體。這個向量空間具有在其上定義的加法和標量乘法。它也有一個基礎{e_n}。 e_i只是第i個分量中有1個而其他地方爲0的向量。任何矢量都可以寫成{e_n}的線性組合。例如，在二維空間中，

|x_1|  |1|  |0| 
|x_2| = x_1 |0| + x_2 |1| 

矩陣作爲線性變換作用於此向量並生成新向量。線性變換僅僅是一個函數，Ť，與Ť（X + Y）= Ť（X）+ Ť（Y）和c Ť（X）= Ť（CX）對於任何矢量，x和y以及任何實數c（儘管我們可以將其用於其他字段）。因此矩陣A作用於向量x併產生另一個向量y。 A x = y。

|a_11 a_12| |x_1|  |y_2| |x_1 a_11 + x_2 a_12| 
|a_21 a_22| |x_2| = |y_1| = |x_1 a_21 + x_2 a_22| 

但是，這樣只是一樣

x_11 |a_11| + x_2*|a_12| 
    |a_22|  |a_22| 

因此，我們再次表示的操作的定義，我們可以查看矩陣爲一組由它的列向量作爲矩陣的列的線性組合，向量（m * n矩陣乘以* 1矩陣）上的矩陣。

這就是允許我們將矩陣與線性變換混合的原因。爲了表示給定的線性變換，作爲矩陣，我們在矩陣的第i列中放置T（e_i）。打電話給這個矩陣A_T。然後A_T X = X_1 Ť（E1）+ X_2 Ť（E2）+ ... + x_n Ť（烯）。但用T，的線性如果x = X_1 E_1 + X_2 E_2 + ... + x_n e_n，然後Ť（X）= X_1 Ť（E_1）+ X_2 Ť（E_2）+ .. 。+ x_n T（e_n）。但這正是我們之前寫的A_T。因此，需要將矩陣乘以一個向量的定律，以使我們能夠將線性變換表示爲矩陣。

現在我們來考慮乘上一般的矩陣。這裏的想法是線性函數的組成，即首先做T _1然後做T _2。對於某個向量x，即T _2（T _1（x））。我們從上面知道，我們可以將這些看作矩陣乘法。那就是 A_T2（A_T1 x）。讓我們從兩個角度來看待它，因爲其他任何東西都是受虐狂的，並且足以讓所有的想法得到貫穿。讓我們將這些矩陣重新標記爲A_t2 = A和A_T1 = B。那麼我們有

A(B x) = |a_11 a_12| (|b_11 b_12| |x_1|) 
      |a_21 a_22| (|b_21 b_22| |x_2|) 

     = |a_11 a_12| |x_1 b_11 + x_2 b_12| 
      |a_21 a_22| |x_1 b_21 + x_2 b_22| 

     = |(x_1 b_11 + x_2 b_12) a_11 + (x_1 b_21 + x_2 b_22) a_12| 
      |(x_1 b_11 + x_2 b_12) a_21 + (x_1 b_21 + x_2 b_22) a_22| 

     = |x_1 (a_11 b_11 + a_12 b_21) + x_2 (a_11 b_12 + a_12 b_22)| 
      |x_1 (a_21 b_11 + a_22 b+21) + x_2 (a_21 b_12 + a_22 b_22)| 

     = |(a_11 b_11 + a_12 b_21) (a_11 b_12 + a_12 b_22)| |x1| 
      |(a_21 b_11 + a_22 b+21) (a_21 b_12 + a_22 b_22)| |x2| 

這只是矩陣乘法。

PS。也可能屬於Math.SO，但我沒有投票結束，因爲我回答了。這對於那裏來說可能太基本了。

Answer 2

它產生向量平面的累積乘法結果。您可以操作分類數據並獲得線性變換的一般結果。 Concept example