線性方程的錯誤解法，或爲什麼A *（A \ B）不等於B？

Question

下面的A*(A\D)的結果怎麼可能不等於D？

它應該產生D - 這裏是八度文檔的摘錄：

Systems of linear equations are ubiquitous in numerical analysis. To solve the set of linear equations Ax = b, use the left division operator, ‘\’: x = A \ b

下面是爲那些誰想要嘗試它的代碼：

A = [1,1,1;0,0,0;2,1,2;2,1,2;3,5,6] 
D = [1;2;3;4;5] 
% A is of rank 3: 
rank(A) 
% therefore the system Ax=D has a unique solution 
x = A\D 
% but Octave has not given the good solution: 
A*x 

有人說我的Matlab產生完全相同的結果。

編輯2012年10月10日：看了答案後，讓我地步，我做了一個嚴重的錯誤：索賠「A的秩是3，因此該系統斧= d有一個獨特的解決方案」是絕對錯誤的！順便說一下，上面顯示的文檔相當令人不安。

Answer 1

A具有5行，所以是D。他們都有3列。因此，你有一個包含3個變量的5個方程的超定系統。在大多數情況下，這意味着你無法準確地求解方程，因爲你有太多限制。

一旦你這樣做

x = A\D; 

你得到的最小二乘解。

0.8333 
-1.5000 
1.6667 

這是什麼解決方案？這是最小化誤差平方和的解決方案。讓我們來計算誤差：

r = A*x-D; 
    totalError = sum(r.^2); 

這意味着你將無法找到任何x這樣sum(sqr(A*x-D))有更小的誤差。

小備註：在你的情況，你也有零點一排 - 這會導致方程的實際數量成爲4

讓我們在A*(A\D)再看一看：

>> A* (A\D) 

ans = 

    1.0000 
     0 
    3.5000 
    3.5000 
    5.0000 

，看起來熟悉！非常接近[1; 2; 3; 4; 5]。第一行和最後一行是相同的。第二個是零，因爲你放了一行零。在第3和第4行，你必須精確地在一個相同的路線，但B中不同的值，對應於

2*x+ 1*y + 2*z = 3; 
2*x+ 1*y + 2*z = 4; 

而且你已經得到了他們的平均！這是有道理的，因爲平均值是將距離總和最小化爲3和4的值。

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下面是一個簡單的例子，假設你想求解方程的以下系統：

x = 1; 
    x = 2; 

顯然，x不能1和2在同一時間。該誤差平方和最小的解決方案是1.5

A = [1;1]; 
    b = [1;2]; 
    A\b 
    ans = 
    1.5000 

Answer 2

你的系統A是超定的（A是矩形的），因此你do not solve your system exactly：

Rectangular Matrices If A is rectangular, mldivide returns a least-squares solution. MATLAB solves overdetermined systems with QR factorization (see qr). For an underdetermined system, MATLAB returns the solution with the maximum number of zero elements.