用十進制數表示的二進制浮點數

Question

並非所有的十進制數都可以用二進制浮點數精確表示。

http://docs.oracle.com/cd/E19957-01/806-3568/ncg_goldberg.html

有兩個原因，一個真正的數字可能不完全 表示爲一個浮點數。最常見的情況是用十進制數字0.1表示的 。儘管它具有有限的 十進制表示，但在二進制中它具有無限重複 表示形式。

另一種方式呢？如果足夠的數字被使用，每個單獨的浮點數都可以用十進制數表示嗎？

Answer 1

是的，如果使用了足夠的數字，那麼每個有限的IEEE 754浮點數都可以用十進制數表示。

精度的每個附加二進制數字都至多需要一個附加的十進制數字來精確表示。

例如：

0.1b -> 0.5 
0.01b -> 0.25 
0.11b -> 0.75 
0.001b -> 0.125 

1和2之間的雙精度（binary64）號碼只需要52個十進制數字之後被精確表示的點：

#include <stdio.h> 

int main(void) { 
    printf("%.55f\n", 1.1); 
} 

結果：

1.1000000000000000888178419700125232338905334472656250000 

在上面顯示的結尾處顯示四個之後，它全部爲零。 1.100000000000000088817841970012523233890533447265625是距離11/10最近的double的確切值。

正如在下面的評論中指出的那樣，負指數的每個額外的單位數量還需要一個額外的十進制數字來精確表示。但是大數量的負指數在它們的小數表示中具有前導零。最小的次正常數在點後面有1022 + 52個十進制數字，但這些數字的第一個近1022 * log _{（2）將爲零。}