保留在浮動插值

Question

最大可能的準確度我們知道，點X1和X2各點Y1和Y2，所以我們可以計算Y表示任何X：

X - X1 Y - Y1 
------- = ------- 
X2 - X1 Y2 - Y1 

我們可以得到一個簡單的公式（A）出的是：

Y = (X - X1) * (Y2 - Y1)/(X2 - X1) + Y1; 

這應該是數學上等效（B）：

Y = (X - X1)/(X2 - X1) * (Y2 - Y1) + Y1; 

對於整數數學形式只要乘積(X - X1) * (Y2 - Y1)結果與類型的範圍保持一致，則ula A表現更好。公式B將不起作用，因爲如果X1 <= X <= X2，那麼除法總是等於0。

對於浮點這兩個都應該工作，但我認爲B會提供更好的精度，因爲乘法結果將保持較小。

1. 我對浮點精度的假設是否正確？

2. 有沒有我不考慮的浮點偏差？

假設IEEE 754浮點表示法。注意1：我對浮點型情況感興趣，整型數學非常直截了當。

注2：FP公式中的變量可能有非整數值，但NaN和Infs不在問題範圍內。

Answer 1

一般而言，乘法和除法很少引起的精度的顯著損失。因爲這些數字是浮點數，對於比例和有效數字有單獨的字段，所以獲得大的中間結果本身不是問題。 2e100/3e100和2/3（對於所有意圖和目的）同樣準確。

另一方面，增加或減少的結果幅度遠小於操作數，這是導致精度損失的更常見的原因。

考慮到這一點，這兩種形式基本上是等價的。如果你的數字是「主流」（即乘法不會導致超/下溢），那麼你將不會遇到任何形式的問題。如果你不能認爲你的數字是主流，那麼你必須採取各種特殊的預防措施才能獲得好的結果。

現在，而不是考慮兩種形式（A）和（B），我建議之間（A）選擇和（C）：

Y = (X - X1) * (Y2 - Y1)/(X2 - X1) + Y1; (A) 
Y = (X - X2) * (Y2 - Y1)/(X2 - X1) + Y2; (C) 

和選擇形式，其中第一因子X - X1或X - X2幅度較小。這樣，如果Y結果很小，則可以將精度損失降至最低。

例如，讓我們使用

(X1,Y1) = (-100, -100) 
(X2,Y2) = (0, 0) 
X = 0.76 

與精度三位數。然後，我們得到（A）：

Y = (0.76 - -100) * (0 - -100)/(0 - -100) + -100 
    = 101 * 100/100 - 100 
    = 1 

而（C），我們得到：

Y = (0.76 - 0) * (0 - -100)/(0 - -100) + 0 
    = 0.76 * 100/100 + 0 
    = 0.76 

所以，快速回答你的問題是：

1. 的大小中間結果本身並不重要。 （B）不是（A）的理由。

2. 始終認爲加法和減法更可能是精度損失的根源。

Answer 2

假設沒有下溢或溢出發生，它們在精度上應該大致相當：乘法和除法都會產生相同的相對誤差，並且由於誤差大致相乘，您執行操作的順序將贏得'沒有什麼不同。

如果您對涉及的術語的相對量值有所瞭解，則可以重新排列術語，使得減法是準確的，這可能會稍微減少誤差。

Answer 3

爲了解決以下爲Y

X - X1 Y - Y1 
------- = ------- 
X2 - X1 Y2 - Y1 

兩者（A）和（B）的行爲相似：

(A) Y = (X - offsetX) * deltaY/deltaX + offsetY; 
(B) Y = (X - offsetX)/deltaX * deltaY + offsetY; 

如果點原本是整數，「B ...乘法結果將保持較小。「可能成立，但其他方面|deltaX||deltaY|可能都小於1，然後這種假設可能會失敗。

要提高準確度，請考慮減去2個數字（或添加2個符號不同的相似數字）的效果。代碼可以選擇X1,Y1或X2,Y2作爲抵消，通過顛倒point1和point2的角色。 選擇最接近X的偏移量，Y將提高精度。

使用FP數學，*和/強調FP編號允許的指數範圍：產品的精度可以預期在數學上正確答案的某個位內，但範圍可能會溢出。

+ and -強調精度：範圍很少成問題，但可能會在用於形成總和的有效數中有很大的取消。

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如果所有的座標值最初都是整數，建議使用2x寬整數運算並得出最佳答案。

如果最後的結果是爲整數化的，確保代碼使用iy = (int) round(Y);