從剖面圖計算體積

Question

我有一個不規則形狀的3d物體。在這個對象中，我定期知道交叉點的區域。我怎樣才能計算這個物體的體積？

Answer 1

使用四面體或磚分解它，並將它們的體積，一種有限元方法加起來。使用高斯積分和和進行積分。

Answer 2

您只能近似音量。只需將所有區域相加，然後乘以區間之間的距離即可。

顯然，間隔之間的距離越小，音量越精確。這只是整合（微積分）。

Answer 3

您正在估計黎曼積分。有很多方法可以做到這一點，具有不同的複雜性。 Simpson's rule是相當簡單的，只要橫截面積足夠平滑地變化，就會非常準確，但是它要求間隔的數量是均勻的。

Answer 4

Ed Heal的答案是接近極限中（體積）積分的黎曼和。根據橫截面位於物體的範圍的位置，可能會將其視爲the midpoint rule的應用。

假設橫截面面積的距離（沿着軸線兩次​​連續可微的垂直橫截面）平滑地變化，中點法則和梯形規則具有準確性與所述間隔寬的平方（這裏提高假定經常）。平均中點和梯形法則逼近相當於應用辛普森規則，在Peter Milley的答案中概述，具有更高的階數準確度（用間隔寬度的四次冪提高）提供被積函數足夠平滑（十字形的連續四階導數相對於距離的區域面積）。

當然，許多現實世界的人物不會有這樣的光滑度（太多的角落，洞等），所以謹慎的做法是不要期望通過製作更復雜的近似來獲得特殊的準確性。