計算圖像積分

Question

如何從圖像積分中找到平均值，標準偏差和梯度？給定的圖像，例如，如下所示：

如上圖所示，找到了突出部分的總和，sum = C+A-B-D。
所以我們有sum = 22。

我怎麼能在下進行，以便找到：

• 平均
• 標準偏差
• 梯度

Answer 1

C+A-B-D爲您提供了灰度等級的總和由界的區域A，B，C，D，所以，爲了得到平均值，您只需要將區域劃分爲區域：

mean = (C+A-B-D)/4 

要獲得開發，你必須計算平方米範圍表的總和（使用cv::integral你可以傳遞一個額外的參數，以獲得平方的總和）。引用wikipedia時，標準差等於（平均值減去平均值的平方）的平方根。因此，假設A「 B」，C「 d」在你廣場面積表中的值：

dev = sqrt((C'+A'-B'-D')/4 - (mean*mean)) 

因此，在計算平均值，並使用積分圖像dev爲非常快速使用積分圖像，特別是如果你想要在隨機位置和圖像塊的隨機大小上計算這些數量。

關於漸變，它更復雜。你確定你不想使用sobel運算符嗎？

Answer 2

如果C + A-B-C是區域中的所有灰度級的總和，則平均值不

mean = C+A-B-D/4 

但

mean = C+A-B-D/K 

其中K是在該區域graylevels的數量。

此外，

dev = sqrt(C'+A'-B'-D'/4 - (mean*mean)) 

不是標準偏差，因爲

dev = sqrt((1/N)*sum_N (x_i - u)^2) 

這裏的公式等同於

dev = sqrt((1/N)*sum_N ((x_i)^2) - u^2) 

這些方程是不等價的。

Answer 3

jmch沒有說的是，如果sqrt(C'+A'-B'-D'/K - (mean*mean))不是你如何計算積分圖像的標準偏差，那麼你怎麼做呢？

首先，讓我切換到Python/numpy的代碼，所以我們得到了一點符號一致性和表達式更容易檢查。給定樣本陣列X，說：

X = array([random() * 10.0 for i in range(0, 9)]) 

的X的uncorrected sample standard deviation可以作爲被定義爲：

std = (sum((X - mean(X)) ** 2)/len(X)) ** 0.5 # 1 

運用binomial theorem到(X - mean(X)) ** 2我們得到：

std = (sum(X ** 2 - X * 2 * mean(X) + mean(X) ** 2)/len(X)) ** 0.5 # 2 

鑑於identities的總和操作，我們可以做：

std = ((sum(X ** 2) - 2 * mean(X) * sum(X) + len(X) * mean(X) ** 2)/len(X)) ** 0.5 # 3 

如果我們S = sum(X)，S2 = sum(X ** 2)，M = mean(X)和N = len(X)我們得到：

std = ((S2 - 2 * M * S + N * M ** 2)/N) ** 0.5 # 4 

現在對於圖像I和兩個積分圖像P和P2從I（其中P2是積分圖像的平方像素計算值），我們知道，給定四個邊緣座標A = (i0, j0),B = (i0, j1),C = (i1, j0)和D = (i1, j1)，值爲S,S2，M和N可以計算作爲範圍I[A:D]：

S = P[A] + P[D] - P[B] - P[C] 

S2 = P2[A] + P2[D] - P2[B] - P2[C] 

N = (i1 - i0) * (j1 - j0) 

M = S/N 

然後可以上述（4）得到的範圍內I[A:D]的標準偏差應用到方程。

編輯：它不是完全必要的，但考慮到M = S/N我們可以將以下替換和簡化式（4）：

std = ((S2 - 2 * M * S + N * M ** 2)/N) ** 0.5 

std = ((S2 - 2 * (S/N) * S + N * (S/N) ** 2)/N) ** 0.5 

std = ((S2 - 2 * ((S ** 2)/N) + (S ** 2/N))/N) ** 0.5 

std = ((S2 - ((S ** 2)/N))/N) ** 0.5 

std = (S2/N - (S/N) ** 2) ** 0.5 # 5 

這是相當接近方程式雷米了，其實。