命題邏輯身份

Question

如何顯示↔≡∨→（∧）

到目前爲止，我已經做到了這一點......

↔≡（P→Q）∧（Q→P）的法代數
∧（q→p）≡（〜p V q）∧（q→p）條件命題定律
（〜p V q）∧（q→p）≡（〜p V q）∧（〜q V p）有條件命題法

Answer 1

按身份證法：

 
p ↔ q         Given 
(p → q) & (q → p)      ↔ Elimination 
(~p ∨ q) & (~q ∨ p)     Material implication 
((~p ∨ q) & ~q) ∨ (((~p ∨ q) & p)) Distributive 
~p & ~q ∨ q & ~q ∨ ~p & p ∨ q & p  Distributive 
~p & ~q ∨ F ∨ F ∨ q & p    Complement 
~p & ~q ∨ q & p      Identity 
~(p ∨ q) ∨ p & q      De Morgan's law 
(p ∨ q) → (p & q)      Material implication 

通過自然演繹：

爲了證明由自然演繹的身份，你必須在兩個方向上進行你的證據。也就是說，你必須證明雙方是：

• p↔q限嗣繼承（P∨Q）→（P & Q），和
• （P∨Q）→（P & Q）需要p↔ q

 
{1} 1. p ↔ q       Prem. 
{1} 2. (p → q) & (q → p)    1 ↔E 
{1} 3. p → q       2 &E 
{1} 4. q → p       2 &E 
{5} 5. p ∨ q       Assum. 
{6} 6. p        Assum. (1st Disj.) 
{1,6} 7. q        3,6 MP 
{1,6} 8. p & q       6,7 &I (1st Conc.) 
{9} 9. q        Assum. (2nd Disj.) 
{1,9} 10. p        4,9 MP 
{1,9} 11. p & q       9,10 &I (2nd Conc.) 
{1,5} 12. p & q       5,6,8,9,11 ∨E 
{1} 14. (p ∨ q) → (p & q)    5,12 CP 

下面是在相反方向上的證明：

 
{1} 1. (p ∨ q) → (p & q)    Prem. 
{2} 2. p        Assum. 
{2} 3. p ∨ q       2 ∨I 
{1,2} 4. p & q       1,3 MP 
{1,2} 5. q        4 &E 
{1} 6. p → q       2,5 CP 
{7} 7. q        Assum. 
{7} 8. p ∨ q       7 ∨I 
{1,7} 9. p & q       1,8 MP 
{1,7} 10. p        9 &E 
{1} 11. q → p       7,10 CP 
{1} 12. (p → q) & (q → p)    6,12 &I 
{1} 13. p ↔ q       12 ↔I 

名縮寫：

• & I =連詞介紹
• & E =連詞消除
• ∨I=析取介入
• ∨E=析取消
• ↔I=雙箭頭介紹
• ↔E=雙箭消除
• MP = Mod美國前件
• CP =條件證明（→引進）