羅素的悖論

Question

讓X是不包含自己的所有集合的集合。 X是X的一員嗎？

Answer 1

在ZFC，無論是基礎公理[如上所述]或公理（方案）的理解將禁止這一點。第一，由於顯而易見的原因;第二，因爲它基本上是說，對於給定的ž和一級物業P，你可以構造{X∈ž：P（X）}，但產生的羅素集，您將需要z = V（所有集合的類），它不是一個集合（即不能從任何給定的公理生成）。

在新的基礎（NF）， 「X∉X」 不是一個分層公式，所以我們再次不能定義羅素集。然而有點有趣的是，V是一套NF。

在馮·諾依曼 - 伯奈斯 - 哥德爾集合論（NBG），類- [R = {X：X是一組和X∉X}是可定義的。然後我們詢問是否R∈R;如果是這樣，那麼也R∉R，給出一個矛盾。因此我們必須有R∉R。但沒有矛盾嗎，因爲對於任何給定A級，一個∉[R意味着要麼一個∈一個或一個是一個適當的類。由於R∉R，我們必須簡單地認爲R是一個適當的類。

當然，類- [R = {X：X∉X}，沒有限制，只是在NBG不可定義的。

音符也就是上述過程是在NBG證明正式施工的，而在ZFC一個不得不訴諸元推理。

Answer 2

該問題在標準ZFC（選擇的Zermelo-Fraenkel +公理）集合論中不適用，因爲這樣定義的對象不是集合。

由於（再次假設標準ZFC）類 {x：x \ not \ in x}不是一個集合，答案變成否，它不是它自身的元素（即使作爲一個類），因爲只有集合可以是類或集合的元素。

順便說一下，只要你同意axiom of foundation，沒有一個組可以是其本身的一個元素。

當然，關於數學的好處是你可以選擇任何你想要的公理:)但相信悖論只是奇怪。

Answer 3

我見過的最優雅的證明類似於羅素的悖論。

定理（康托爾，我想）。 設X是一個集合，2^X是它的子集合集合。然後卡（X）<卡（2^X）。

證明。當然，card（X）< = card（2^X），因爲X和2^X中的單例之間存在一個平凡的雙射。我們必須證明卡（X）！=卡（2^X）。

假設X和2^X之間存在雙射。然後將X中的每個xk映射到2^X中的一組Ak。

• X1 ---> A1
• X2 ---> A2
• ...
• XK --->阿克
• ...

對於每個xk的機會是：xk屬於Ak，或者它不屬於Ak。假設M是所有這些xk的集合，其中不是屬於它們對應的集合Ak。 M是X的子集，因此必須存在X的元素m，該元素通過雙射映射到M。

是否屬於M？如果是的話，那麼它不會，因爲M是那些屬於它們映射到的集合的那些x的那組。如果沒有，那麼它確實對於M包含全部是這樣的x's。這種矛盾源於存在雙射的假設。因此雙射不可能存在，這兩個基數是不同的，並且證明了這個定理。