Mathematica - DSolve在輸出中吐出＃1

Question

我不太確定如何解釋這一點。

我正在解決一個相當大的微分方程組，DSolve 有時吐出一個包含具有#1的項的替換規則列表。我知道#1是一個爭論的佔位符，但我不知道它來自哪裏。

如果我有類似的方程來

系統

eqs = { 
x1'[t] = a1*x1[t] + b1*y1[t] 
x2'[t] = a2*x2[t] + b2*y2[t] 
... 
y1'[t] = c1*y1[t] + d1*x1[t] 
y2'[t] = c2*y2[t] + d2*x2[t]} 

DSolve[eqs,vars,t]吐出像

x1 -> e^(-ta1) 
x2 -> e^(-t)RootSum[a1a2+a3b4#1 + a3a1b2#1] 
... 

顯然有點複雜，但你明白了吧。

文檔中的任何暗示，爲什麼這正在發生，而且只在參數一定permuations（例如，當我在原來的系統參數玩，要麼工作或沒有）

Answer 1

出現這種情況RootSum可以通過Integrate，其用於通過內部DSolve，像這樣產生：

In[511]:= Integrate[1/(1 + x + x^2 + x^3 + x^4), x] 

Out[511]= RootSum[1 + #1 + #1^2 + #1^3 + #1^4 &, 
Log[x - #1]/(1 + 2 #1 + 3 #1^2 + 4 #1^3) &] 

它代表一個符號表達式是Sum[ Log[x-t]/(1+2*t+3 t^2+4 t^3), {t, {"roots of 1+t+t^2+t^3+t^4"}]（注意，無效的語法故意）。您可以使用Normal恢復預期的正常形式：

In[512]:= Normal[%] 

Out[512]= 
Log[(-1)^(1/5) + x]/(1 - 2 (-1)^(1/5) + 3 (-1)^(2/5) - 4 (-1)^(3/5)) + 
    Log[-(-1)^(2/5) + x]/(
1 - 4 (-1)^(1/5) + 2 (-1)^(2/5) + 3 (-1)^(4/5)) + 
Log[(-1)^(3/5) + x]/(
1 - 3 (-1)^(1/5) - 2 (-1)^(3/5) + 4 (-1)^(4/5)) + 
Log[-(-1)^(4/5) + x]/(1 + 4 (-1)^(2/5) - 3 (-1)^(3/5) + 2 (-1)^(4/5)) 

或直接用Sum：

In[513]:= Sum[ 
Log[x - t]/(1 + 2*t + 3 t^2 + 4 t^3), {t, 
    t /. {ToRules[Roots[1 + t + t^2 + t^3 + t^4 == 0, t]]}}] 

Out[513]= 
Log[(-1)^(1/5) + x]/(1 - 2 (-1)^(1/5) + 3 (-1)^(2/5) - 4 (-1)^(3/5)) + 
    Log[-(-1)^(2/5) + x]/(
1 - 4 (-1)^(1/5) + 2 (-1)^(2/5) + 3 (-1)^(4/5)) + 
Log[(-1)^(3/5) + x]/(
1 - 3 (-1)^(1/5) - 2 (-1)^(3/5) + 4 (-1)^(4/5)) + 
Log[-(-1)^(4/5) + x]/(1 + 4 (-1)^(2/5) - 3 (-1)^(3/5) + 2 (-1)^(4/5)) 

In[514]:= % - %% // FullSimplify 

Out[514]= 0