如何在matlab中評估函數的導數？

這應該很簡單。我有一個功能f(x)，我想要評估f'(x)在MATLAB中的給定x。如何在matlab中評估函數的導數？

我所有的搜索都提出了符號數學，這不是我所需要的，我需要數值分化。

E.g.如果我定義：fx = inline('x.^2')

我想找個說f'(3)，這將是6，我不想找到2x

2011-01-11 lms

爲了得到一個數值差（對稱差），你算算(f(x+dx)-f(x-dx))/(2*dx)

fx = @(x)x.^2; 
fPrimeAt3 = (fx(3.1)-fx(2.9))/0.2;

或者，您可以創建函數值的矢量和應用DIFF，即

xValues = 2:0.1:4; 
fValues = fx(xValues); 
df = diff(fValues)./0.1;

注意diff需要前向差異，並假設dx等於1.

但是，在你的情況下，您最好將fx定義爲polynomial，然後評估函數的導數，而不是函數值。

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2011-01-11 14:40:28 Jonas

+1爲一個整潔的答案:) – posdef 2011-01-11 14:43:41

我是對的，我認爲我選擇dx越小，我的答案就越準確。如果是的話，是否有一個非常小的實數的MATLAB常量？類似於pi的3.14 ...或者我爲sqrt（-1）？ – lms 2011-01-11 16:15:22

@codenoob：`eps`給你一個很小的數字。但是，對於大多數實際用途而言，0.0001就足夠了。另外，如果你使用多項式並使用`polyder`，則不必擔心`dx`的大小。 – Jonas 2011-01-11 16:29:43

你嘗試diff（計算差異和近似衍生物），gradient，或polyder （計算多項式的導數）函數？

您可以在MATLAB控制檯上使用help <commandname>或使用幫助菜單中的功能瀏覽器閱讀關於這些功能的更多信息。

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2011-01-11 14:39:36 posdef

+1爲更快一點:) – Jonas 2011-01-11 14:44:34

對於解析形式給定的功能，可以在用下面的代碼的期望點評估衍生物：

syms x 
df = diff(x^2); 
df3 = subs(df, 'x', 3); 
fprintf('f''(3)=%f\n', df3);

對於純數值衍生物使用由納斯和posdef已經給出的解決方案。

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2011-01-11 15:14:58 zellus

缺少符號工具箱，沒有什麼能阻止您使用Derivest這一自動自適應數值微分工具。

derivest(@sin,pi) 
ans = 
      -1

對於你的例子它很好。事實上，它甚至提供了對所得近似值誤差的估計。

fx = inline('x.^2'); 
[fp,errest] = derivest(fx,3) 

fp = 
      6 
errest = 
    3.6308e-14

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2011-01-12 00:07:58

如果你的函數被稱爲是二次可微，使用

f'(x) = (f(x + h) - f(x - h))/2h

這是二階h中準確。如果它只有一次可微分，請使用

f'(x) = (f(x + h) - f(x))/h  (*)

這是h中的第一順序。

這是理論。實際上，事情非常棘手。由於分析比較簡單，我將採用第二個公式（一階）。做第二個練習。

第一個觀察結果是，你必須確保（x + h） - x = h，否則你會得到巨大的錯誤。事實上，f（x + h）和f（x）彼此接近（比如2.0456和2.0467），當你減去它們時，你會失去很多有意義的數字（這裏是0.0011，比x）。因此，h上的任何錯誤都可能對結果產生巨大影響。因此，第一步，修復一個候選人h（我會在一分鐘內告訴你如何選擇它），並將h'作爲你的計算量h'=（x + h）-x。如果您使用的是像C這樣的語言，則必須注意將h或x定義爲揮發性，以便不會優化該計算。

接下來，選擇h。（*）中的錯誤包含兩部分：截斷錯誤和舍入錯誤。截斷誤差是因爲公式並不確切：

(f(x + h) - f(x))/h = f'(x) + e1(h)

e1(h) = h/2 * sup_{x in [0,h]} |f''(x)|哪裏。

舍入誤差來自f（x + h）和f（x）彼此接近的事實。它可以大致被估計爲

e2(h) ~ epsilon_f |f(x)/h|

其中epsilon_f是在F（X）（或F（X + h）時，其是接近）的計算的相對精度。這必須從您的問題進行評估。對於簡單的功能，epsilon_f可以作爲機器epsilon。對於更復雜的，它可能比數量級更差。

所以你想要h它最小化e1(h) + e2(h)。一同插入一切，在h優化產生

h ~ sqrt(2 * epsilon_f * f/f'')

這必須從你的函數進行估計。你可以做出粗略的估計。如有疑問，請參閱epsilon =機器精度的h〜sqrt（epsilon）。對於h的最優選擇，導數已知的相對準確度是sqrt（epsilon_f），即。一半有效數字是正確的。

總之：h =>舍入誤差太小，h =>截斷誤差太大。

對於第二階式中，相同的計算產量

h ~ (6 * epsilon_f/f''')^(1/3)

和（epsilon_f）^（2/3）爲衍生物的分數精度（其通常比第一個或兩個顯著附圖將更好地訂單公式，假設雙精度）。

如果這太不精確，隨意要求更多的方法，有很多技巧來獲得更好的準確性。理查森外推法對於平穩的功能來說是一個好的開始。但是這些方法通常計算f幾次，如果函數複雜，這可能會或不會是你想要的。

如果您打算在不同的點使用數值導數很多次，那麼構造一個切比雪夫逼近就會變得很有趣。

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2011-01-14 14:26:15

如何在matlab中評估函數的導數？

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