避免精度損失的最佳算法？

我收到的一項最近的家庭作業要求我們採取措辭，在計算機上執行時可能會造成精度損失，並對其進行修改，以避免造成損失。避免精度損失的最佳算法？

不幸的是，這樣做的方向尚未明確。通過觀察正在執行的各種示例，我知道有一些方法可以做到這一點：使用泰勒級數，如果涉及平方根使用共軛，或者在減去兩個分數時找到共同的分母。

但是，我在準確發現精確度丟失時會發生一些麻煩。到目前爲止，我唯一知道的是，當你減去接近於相同的兩個數字時，由於高位數字很重要，所以會出現精度損失，並且你會從四捨五入中丟失這些數字。

我的問題是我應該尋找哪些其他常見情況，以及哪些被認爲是接觸它們的「好」方法？

例如，這裏有一個問題：

f(x) = tan(x) − sin(x) when x ~ 0

什麼是評價這一點這三個選項的最佳和最差的算法：

(a) (1/ cos(x) − 1) sin(x), 
(b) (x^3)/2 
(c) tan(x)*(sin(x)^2)/(cos(x) + 1).

我明白，當x接近零，tan（x）和sin（x）幾乎相同。我不明白如何或爲什麼這些算法對於解決問題更好或更差。

來源

2009-02-02 Zachary Wright

通常使用的另一個經驗法則是：當添加一長串數字時，開始從最接近零的數字開始添加，並以最大數字結束。

解釋爲什麼這是好的只是棘手。當你爲大數添加小數時，它們有可能被完全丟棄，因爲它們比當前大數的尾數小。就拿這樣的情況：

a = 1,000,000; 
do 100,000,000 time: 
    a += 0.01;

如果0.01比最低的尾數數字越小，則循環不執行任何操作而最終的結果是==百萬但如果你這樣做是這樣的：

a = 0; 
do 100,000,000 time: 
    a += 0.01; 
a += 1,000,000;

比低數字慢慢增長，你更可能最終接近一個== 2,000,000這是正確的答案。
這是一個極端的例子，但我希望你明白。

來源

2009-02-02 03:50:57 shoosh

當我還是一名本科生時，我不得不接受一個數學課，而且這是非常痛苦的。無論如何，IEEE 754是典型的由現代CPU實現的浮點標準。瞭解它的基礎知識是有用的，因爲這給你很多關於不該做什麼的直覺。它的簡單解釋是計算機存儲浮點數，如基數爲2的科學記數法，指數和尾數的位數都是固定的。這意味着數字的絕對值越大，其表示的精確度越低。對於IEEE 754中的32位浮點數，一半的可能位模式表示-1和1之間，即使可以用32位浮點數表示大約10^38的數字。對於大於2^24（大約16.7百萬）的值，32位浮點數不能完全表示所有整數。

這意味着什麼，你是，你通常需要避免以下幾點：

有當最後的答案有望成爲小中間值大。
在大數上加/減小數。例如，如果你寫的東西，如：用於

（浮點指數= 17000000;指數< 17000001;指數++）{}

這個循環將永遠不會終止監守17000000 + 1向下取整到17000000。如果你有這樣的事情：

float foo = 10000000 - 10000000.0001

foo的值是0，沒有-0.0001，由於舍入誤差。

來源

2009-02-02 03:53:35 dsimcha

另一件事情，以避免被減去幾乎是相同的數字，因爲這也可能導致對舍入誤差的敏感性增加。對於接近0的值，cos（x）將接近於1，所以1/cos（x）-1是那些你希望儘可能避免的減法之一，所以我應該說（a）應該被避免。

來源

2009-02-02 04:32:47

我的問題是什麼是我應該尋找一些其他常見的情況，什麼被認爲是「好」接近他們的方法呢？

有幾種方法可以導致嚴重或甚至災難性的精度損失。

最重要的原因是浮點數有位數量有限，e.g..doubles有53位。這意味着，如果您的「無用」數字不屬於解決方案的一部分，但必須存儲，您將失去精確度。

例如（我們使用十進制類型示範）：

2.598765000000000000000000000100 -

2.598765000000000000000000000099

有趣的部分是100-99 = 1的答案。由於2.598765在兩種情況下均相同，因此它不會更改結果，但會浪費8位數。更糟糕的，因爲電腦不知道數字是沒有用的，它是被迫來存儲它和之後的CRAM 21個零，浪費在所有29位。不幸的是，沒有辦法規避差異，，但還有其他的情況，例如， exp（x）-1這是物理學中經常出現的函數。

0附近的exp函數幾乎是線性的，但它強制執行1作爲前導數字。因此，與12個顯著數字 EXP（0.001）-1 = 1.00100050017 - 1 = 1.00050017e-3

如果我們使用而不是函數的expm1（）中，使用泰勒級數：

1 + X + X3^2/2 + x^3/6 ...-1 =

X + X^2/2 + X^3/6 =：的expm1（X）

的expm1（0.001）= 1.00500166667e -3-

好得多。

第二個問題是函數的斜率非常陡，如x的切線接近pi/2。 tan（11）的斜率爲50000，這意味着由於舍入誤差而引起的任何小偏差都將被因子50000放大！或者你有奇點，例如，結果接近0/0，這意味着它可以有任何值。

在這兩種情況下，您都會創建一個替代函數，簡化原始函數。突出顯示不同的解決方案是沒有用的，因爲如果沒有經過培訓，您根本就不會「首先」看到問題。

一本很好的學習和訓練的書：Forman S. Acton：Real Computing made real

來源

2009-12-08 15:04:09

避免精度損失的最佳算法？

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