查找matlab中沿弧距離點的位置

Question

我有拋物線y = a *（x-alpha）*（x-beta）其中a，alpha，beta已知 讓x1，y1爲初始點on上述拋物線。我現在必須從初始點沿弧線覆蓋距離D.目標是在覆蓋所需的弧距後獲得拋物線上的最終位置。

一種方法是不斷檢查從拋物線的初始位置到終點，並檢查積分是否等於所需的距離。但是這個算法需要很長時間才能完成，因爲我需要多次這樣做。

有沒有更快的方法來做到這一點？

Answer 1

好的，拋物線上的線距不是通過積分本身獲得的。爲了方便，我用\ gamma替換了您的a。

y = gamma(x-alpha)(x-beta) -> gamma*x^2 + (-gamma*alpha - gamma*beta)*x + alpha*beta*gamma 

替換：

a = gamma 
b = -gamma*alpha - gamma*beta 
c = alpha*beta*gamma 

所以可以寫成：

f = (1-D)/(4*a) - (-D)/(4*a) 

在：

y = a*x^2 + b*x + c 

從這個公式（拋物線）的焦點f由下式確定其中

d = B^2 - 4 *一個* C

現在首先定義p從一個位置曲線上對稱x_p的垂直軸線的垂直距離：

P = -b/（2 * a） - x_p;

從這個弧長的計算方法是：

h = p/2 
q = sqrt(f^2+h^2) 
s = h*q/f + f* ln (h*q/f) 

其中S是你的曲線paramatric表示。

Distance = s_1 - s_2 = (h_1*q_1/f + f * ln (h_1*q_1/f)) - (h_2*q_2/f + f * ln (h_2*q_2/f)) 

隨着一些簡化：曲線的長度是通過使用兩個點秒，然後在這些點之間的距離，所以發現

Distance = (h_1*q_1 - h_2*q_2)/f + f* ln ((h_1 + q_1)/(h_2 + q_2)) 

要完全實現它在MATLAB是由你目前。如果遇到任何問題，請告訴我。

祝你好運，玩得開心！

Answer 2

這是一個非線性方程：給出x1，y1並尋找x2，y2。 x2和y2必須滿足拋物線方程，並且它們必須沿曲線滿足arclength方程。 http://en.wikibooks.org/wiki/Calculus/Arc_length

因此，積分給你第二個等式。現在你有兩個方程和兩個未知數 - 查找MATLAB fsolve http://www.mathworks.se/help/optim/ug/fsolve.html

假設積分不能分析解決然後就解決它使用數字整合（可以嗎？） - 仍然應該不僅僅是蠻力搜索快得多。 ..

如果你需要做很多次，確保以前的解決方案，給出作爲初始猜測下一個fsolve /集成呼叫

Answer 3

我有什麼是您使用本作也不知道。但讓我盡力幫你

那麼，這個問題並不是很難解決。我的意思是，這只是一個簡單的線條，在拋物線上積分爲1。對你有好處，這是以前完成的。 http://en.wikipedia.org/wiki/Arc_length#Length_of_an_arc_of_a_parabola

所有你需要做的是找到對稱軸，不難，X =（alpha + beta）/ 2，焦點長度（有點棘手，但如果你谷歌，我相信你會發現它）。我找到了你。 https://math.stackexchange.com/questions/574688/what-is-the-focal-width-of-a-parabola顯示了拋物線的規範形式，所以你所需要做的就是計算你的公式（http://www.math-prof.com/Alg2/Alg2_Ch_40.asp）

現在你需要解決的方程並不漂亮。把所有的東西都用p來表示，讓MatLab爲你解決（它不應該永遠持續下去）。